Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，AC=20,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）直接寫出BC的長(zhǎng)是　 　，點(diǎn)D的坐標(biāo)是　 　；

（2）證明：△AEF與△DCE相似；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） A（-12，0），D（12，0）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，0）或（，0）.

【解析】試題分析：（1）利用矩形的性質(zhì)，在中，利用三角函數(shù)求出的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)；由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知從而問(wèn)題解決；
（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：
①當(dāng)時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為1，則有
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為，則有

③當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)與點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

試題解析：(1)由題意

∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0)，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴D(12,0).

(2)點(diǎn)D與點(diǎn)/span>A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性質(zhì))

∴∠AEF=∠DCE.

則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE.

(3)當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：

①當(dāng)CE=EF時(shí)，

∵△AEF∽△DCE，

∴AE=CD=20，

∴OE=AEOA=2012=8，

∴E(8,0)；

②當(dāng)EF=FC時(shí)，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，

∵△AEF∽△DCE，

即解得

③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=∠CAO，即此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾.

綜上所述,當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8,0)或