已知,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,D是線段BC上一點,以AD為邊,在AD的右側(cè)作正方形ADEF.直線AE與直線BC交于點G,連接CF.
(1)如圖1,當BD<1時,求證:△ACF≌△ABD;
(2)如圖2,當BD>1時,請在圖中作出相應的圖形,猜測線段CF與線段BD的關(guān)系,并說明理由;
(3)連接GF,判斷當線段BD為何值時,△GFC是等腰三角形.

【答案】分析:(1)根據(jù)已知得出AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,即可證明△ABD≌△ACF,
(2)先猜后證,由(1)得△ABD≌△ACF,再推出CF⊥BD;
(3)連接GF,根據(jù)條件可得出△AFG≌△ADG,則FG=DG,然后分兩種情況:當BD<1時,當BD>1時,得出答案即可.
解答:解:(1)∵四邊形ADEF是正方形,△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°(2分)
∴∠BAD=∠CAF,∴△ABD≌△ACF(4分)

(2)作圖如右:(6分)
猜測:CF=BD,CF⊥BD(7分)
理由是:同(1)可得△ABD≌△ACF
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°
∴∠FCB=90°,∴CF⊥BD(9分)

(3)連接GF
∵AE是正方形ADEF的對角線
∴∠FAE=∠DAE=45°
又AD=AF,AG=AG
∴△AFG≌△ADG
∴FG=DG(10分)
若Rt△CFG是等腰三角形,則CG=CF
設CF=x,得CG=CF=BD=x
①如圖1,當BD<1時,F(xiàn)G=DG=2-2x
在Rt△CFG中,根據(jù)勾股定理得
FG2=CG2+CF2
∴(2-2x)2=2x2
解得:x1=2+>1(舍去),x2=2-(12分)

②如圖2,當BD>1時,∵CG=BD
∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中,根據(jù)勾股定理得
FG2=CG2+CF2,22=2x2
解得:x1=-(舍去),x2=
綜上所得,當BD等于2-時,△CFG是等腰三角形(14分)
點評:本題是一道綜合性很強的題目,考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用,注意分類思想的使用.
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(2)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=
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.四邊形CDPE是正方形,CD在AC上,CE在BC上,P是△ABC的費馬點.求:P點到AB的距離.
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(3)已知:銳角△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P點.
①求∠CPD的度數(shù);
②求證:P點為△ABC的費馬點.
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(2)如圖2,當BD>1時,請在圖中作出相應的圖形,猜測線段CF與線段BD的關(guān)系,并說明理由;
(3)連接GF,判斷當線段BD為何值時,△GFC是等腰三角形.
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(2)如圖2,當BD>1時,請在圖中作出相應的圖形,猜測線段CF與線段BD的關(guān)系,并說明理由;

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