已知:△ABC是等腰直角三角形,∠C是直角,直線NM過點C,BP⊥MN于P,AQ⊥MN于Q,BP=3,AQ=4,求PQ的長.
分析:首先根據(jù)題目的已知條件可以證明△ACQ≌△CBP,然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到BP=CQ,AQ=CP然后結合圖形即可求出PQ的長.
解答:解:有兩種情況:
①當直線MN與△ABC相交,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠C是直角,
∴AC=BC,
又BP⊥MN于P,AQ⊥MN于Q,
∴∠ACQ+∠BCP=∠BCP+∠CBP=90°,∠AQC=∠CPB=90°
∴∠ACQ=∠CBP,
∴△ACQ≌△CBP,
∴BP=CQ,AQ=CP,
∴PQ=PC-CQ,
而BP=3,AQ=4,
∴PQ=1;
②當直線MN與△ABC不相交,如右圖,根據(jù)①得到
△ACQ≌△CBP,
∴BP=CQ,AQ=CP,
∴PQ=PC+CQ,
而BP=3,AQ=4,
∴PQ=7.
點評:此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定,首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到全等條件,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖P是△ABC所在平面上一點.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P就叫做費馬點.
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(1)當△ABC是等邊三角形時,作尺規(guī)法作出△ABC費馬點.(不要求寫出作法,只要保留作圖痕跡)
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(2)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=
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.四邊形CDPE是正方形,CD在AC上,CE在BC上,P是△ABC的費馬點.求:P點到AB的距離.
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(3)已知:銳角△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P點.
①求∠CPD的度數(shù);
②求證:P點為△ABC的費馬點.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,D是線段BC上一點,以AD為邊,在AD的右側作正方形ADEF.直線AE與直線BC交于點G,連接CF.
(1)如圖1,當BD<1時,求證:△ACF≌△ABD;
(2)如圖2,當BD>1時,請在圖中作出相應的圖形,猜測線段CF與線段BD的關系,并說明理由;
(3)連接GF,判斷當線段BD為何值時,△GFC是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,D是線段BC上一點,以AD為邊,在AD的右側作正方形ADEF.直線AE與直線BC交于點G,連接CF.

(1)如圖1,當BD<1時,求證:△ACF≌△ABD;

(2)如圖2,當BD>1時,請在圖中作出相應的圖形,猜測線段CF與線段BD的關系,并說明理由;

(3)連接GF,判斷當線段BD為何值時,△GFC是等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學 來源:2010年福建省寧德市福鼎市初中學業(yè)質(zhì)量檢查數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,D是線段BC上一點,以AD為邊,在AD的右側作正方形ADEF.直線AE與直線BC交于點G,連接CF.
(1)如圖1,當BD<1時,求證:△ACF≌△ABD;
(2)如圖2,當BD>1時,請在圖中作出相應的圖形,猜測線段CF與線段BD的關系,并說明理由;
(3)連接GF,判斷當線段BD為何值時,△GFC是等腰三角形.

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