Question

某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為20 元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量Q（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y₁=

1

4

t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)）；后20天每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y₂=-

1

2

t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）．
（1）求Q（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請預(yù)測未來40天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前20天中該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜4）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20 天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時(shí)間t的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)為y=kt+b，
將（30，36）和（10，76）代入一次函數(shù)y=kt+b中，
有

36=30k+b 76=10k+b

，
解得：

k=-2 b=96

．
故所求函數(shù)解析式為y=-2t+96；

（2）設(shè)銷售利潤為W，
則W=

(-2t+96)( 1 4 t+25-20)(1≤t≤20) (-2t+96)(- 1 2 t+40-20)(21≤t≤40)

配方得W=

- 1 2 (t-14)2+578(1≤t≤20) (t-44)2-16(21≤t≤40)

當(dāng)1≤t≤20，t=14時(shí)W_最大=578，
當(dāng)21≤t≤40時(shí)，W隨x增大而減小，故當(dāng)t=21時(shí)，W_最大=513，
綜上知，當(dāng)t=14時(shí)，利潤最大，最大利潤是578元．

（3）由題意得：W=(-2t+96)(

1

4

t+5-a)(1≤t≤20)
配方得：W=-

1

2

[t-2(a+7)]2+2(a-17)2(1≤t≤20)
要使日銷售利潤隨時(shí)間t增大而增大，則要求對稱軸x=2（a+7）≥20解得x≥3；
又題目要求a＜4，
故3≤a＜4．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性，最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．