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（1）如圖1，AB∥CD，AD與BC交于點P，過P點的直線與AB、CD分別交于E，F(xiàn)．求證：

（2）如圖2，在圖1中，連接CA、DB并延長相交于O，連接OP并延長交CD于M，求證：點M為CD的中點；
（3）如圖3，在圖2中，若點G從D點向左移動（不與C點重合），AG與BC交于點P，連OP并延長交CD于M，直接寫出MC、MG、MD之間的關系式．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，先由相似三角形的判定定理得出△AEP∽△DFP，△BEP∽△CFP，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到

，

，等量代換后得出

，然后根據(jù)比例的性質(zhì)證明出

；
（2）如圖2，設OM交AB于點N．先由相似三角形的判定定理得出△AON∽△COM，△BON∽△DOM，△AOB∽△COD，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到

，

，等量代換后得出

①，再由△ANP∽△DMP，△BNP∽△CMP，△APB∽△DPC，得出

，

，則

②，然后將①式除以②式得出

，進而得到CM=DM；
（3）如圖3，設OM交AB于點N．先由相似三角形的判定定理得出△MCP∽△NBP，△NAP∽△MGP，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到

①，

②，將①×②，得出

=1，即

．又△AON∽△COM，△BON∽△DOM，則

，

，等量代換后得出

，根據(jù)比例的性質(zhì)得出

，于是由等量代換得出

，進而求出MC、MG、MD之間的關系式為MC²=MG•MD．

解答：（1）證明：如圖1，∵AB∥CD，AD與BC交于點P，
∴△AEP∽△DFP，△BEP∽△CFP，
∴

，

，
∴

；

（2）證明：如圖2，設OM交AB于點N．
∵AB∥CD，
∴△AON∽△COM，△BON∽△DOM，△AOB∽△COD，
∴

，

，
∴

①，
∵△ANP∽△DMP，△BNP∽△CMP，△APB∽△DPC，
∴

，

，
∴

②，
①÷②，

，
∴CM=DM，即點M為CD的中點；

（3）解：MC²=MG•MD，理由如下：
如圖3，設OM交AB于點N．
∵AB∥CD，
∴△MCP∽△NBP，△NAP∽△MGP，
∴

①，

②，
①×②，得

=1，
∴

．
∵△AON∽△COM，△BON∽△DOM，
∴

，

，
∴

，
∴MC²=MG•MD．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，難度適中．題中需要多次運用相似三角形對應邊的比，找準中間過渡比是解題的關鍵．

練習冊系列答案

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