【題目】在圖1至圖3中,點B是線段AC的中點,點D是CE的中點,△BCF和△CDG都是等邊三角形,點M為AE的中點,連接FG.
(1)如圖1,若點E在AC的延長線上,點M與點C重合,則△FMG 等邊三角形(填“是”或“不是”)
(2)將圖1中的CE縮短,得到圖2.求證:△FMG為等邊三角形;
(3)將圖2中的CE繞點E順時針旋轉一個銳角,得到圖3.求證:△FMG為等邊三角形.
【答案】(1)是;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)如圖1,易證FM=BM=MD=MG, ∠FMG=60°,即可得到△FMG是等邊三角形;(2)如圖2,易證BD=BC+CD=AM,從而可得MD=AB.由△BCF和△CDG都是等邊三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,從而可證到MD=BF,BM=GD,進而可得到△FBM≌△MDG,則有MF=GM, ∠BFM=∠DMG,從而可證到∠FMG=60°,即可得到△FMG為等邊三角形;(3)如圖3,連接BM、DM,根據三角形中位線定理可得BM∥CE,BM= CE=CD,DM∥AC,DM=AC=BC.再根據△BCF和△CDG都是等邊三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,從而得到BF=BC=DM,BM=CD=GD, ∠FBC=∠GDC.由BM∥CE,DM∥AC,可得四邊形BCDM是平行四邊形,從而得到∠BMD=∠DCB=120°, ∠CDM=∠MBC=60°,即可得到∠FBM=∠GDM=120°,即可得到△FBM≌△MDG,則有MF=GM, ∠FMB=∠MGD,從而可得∠FMG=∠BMD-∠FMB-GMD=∠BML,即可得到△FMG為等邊三角形.
(1)如圖1,
∵點B是線段AC的中點,點D是CE的中點,點M為AE的中點,點M與點C重合,
∴AB=BM=AM=ME=MD=DE.
∵△BCF和△CDG都是等邊三角形,點M與點C重合,
∴FM=BM,MD=GM,
∴FM=GM.
∵∠FMG=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴△FMG是等邊三角形.
故答案為:是;
(2)如圖2,
∵點B是線段AC的中點,點D是CE的中點,點M為AE的中點,
∴AB=BC=AC,CD=DE=CE,AM=ME=AE,
∴BD=BC+CD=AC+CE=AE=AM,即BM+MD=BM+AB,
∴MD=AB.
∵△BCF和△CDG都是等邊三角形,
∴BF=BC,CD=GD,∠FBC=60°,∠GDC=60°,
∴MD=AB=BC=BF,BM=BC﹣MC=MD﹣MC=CD=GD.
在△FBM和△MDG中,
,
∴△FBM≌△MDG,
∴MF=GM,∠BFM=∠DMG.
∵∠BFM+∠FMB+∠FBM=180°,∠DMG+∠FMB+∠FMG=180°,
∴∠FMG=∠FBM=60°,
∴△FMG為等邊三角形;
(3)如圖3,連接BM、DM,
∵點B是線段AC的中點,點D是CE的中點,點M為AE的中點,
∴BM∥CE,BM=CE=CD,DM∥AC,DM=AC=BC.
∵△BCF和△CDG都是等邊三角形,
∴BF=BC,CD=GD,∠FBC=60°,∠GDC=60°,
∴BF=BC=DM,BM=CD=GD,∠FBC=∠GDC.
∵BM∥CE,DM∥AC,
∴四邊形BCDM是平行四邊形,
∴∠BMD=∠DCB=120°,∠CDM=∠MBC=60°,
∴∠FBM=∠GDM=120°.
在△FBM和△MDG中,
,
∴△FBM≌△MDG,
∴MF=GM,∠FMB=∠MGD,
∴∠FMG=∠BMD﹣∠FMB﹣∠GMD=∠BMD﹣∠MGD﹣∠GMD
=120°﹣(180°﹣120°)=60°,
∴△FMG為等邊三角形.
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【題目】學校讓綜合實踐活動課外學習小組參與學校校辦工廠的足球生產活動,在工人師傅的指導和幫助下,綜合實踐活動課外學習小組一周計劃生產700個足球,平均每天生產100個,由于各種原因實際每天生產產量與計劃量相比有出入,下表是某周的生產情況(超產為正、減產為負):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 |
(1)根據記錄可知前四天共生產 個;
(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產 個;
(3)該校辦工廠實行每周計件獎勵制,生產一個足球獎勵給綜合實踐活動課外學習小組元.超額完成任務超額部分每個再獎元,那么該校的綜合實踐活動課外學習小組這一周得到的獎勵總額是多少元?
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【題目】如圖,三角形紙牌中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿著過△ABC的頂點B的直線折疊這個三角形,使點C落在AB邊上的點E處,折痕為BD,則△AED周長為____.
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【題目】在平面直角坐標系中,C點在y軸上,B點在x軸上,A點從C點出發(fā)沿正西運動,B點在x軸上運動.
(1)如圖1當∠ABC=∠ABD,作∠CBO的平分線交AC的延長線于E,作CF⊥EB于F.求證:∠ABD=∠ECF;
(2)如圖2,在(1)的條件下,延長AB與∠BCO的平分線交于M點,下列結論:
①∠M的度數不變;
②∠ABC﹣∠M的值不變,可以證明只有一個結論正確,請你作出正確的選擇并求值.
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【題目】如圖,點B、C、D、E在同一條直線上,已知AB = FC,AD = FE, BC=DE.
(1)求證:△ABD≌△FCE.
(2)AB與FC的位置關系是_________(請直接寫出結論)
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【題目】小亮在某橋附近試飛無人機,如圖,為了測量無人機飛行的高度AD,小亮通過操控器指令無人機測得橋頭B,C的俯角分別為∠EAB=60°,∠EAC=30°,且D,B,C在同一水平線上.已知橋BC=30米,求無人機飛行的高度AD.(精確到0.01米.參考數據:≈1.414,≈1.732)
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【題目】如圖,是某種蠟燭在燃燒過程中高度與時間之間關系的圖像,由圖像解答下列問題:
(1)此蠟燭燃燒1小時后,高度為 cm;經過 小時燃燒完畢;
(2)求這個蠟燭在燃燒過程中高度與時間之間關系的解析式.
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【題目】如圖,等腰中,,點A、B分別在坐標軸上.
(1)如圖1,若,,求C點的坐標;
(2)如圖2,CD垂直x軸于D點,判斷CD、OA、OD的數量關系,并證明你的結論;
(3)如圖3,若點A的坐標為,點B在y軸的正半軸上運動時,分別以OB,AB為邊在第一,第二象限作等腰,等腰,連接EF交y軸于P點,當點B在y軸上移動時,PB的長度是否變化?如果不變求出PB值,如果變化求PB的取值范圍.
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