Question

【題目】射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒，以點(diǎn)P為圓心， cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫(xiě)出t可取的一切值（單位：秒）

Answer 1

【答案】t=2或3≤t≤7或t=8
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點(diǎn)，
∴MN= AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：
①如圖1，

當(dāng)⊙P切AB于M′時(shí)，連接PM′，
則PM′= cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm﹣2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，
當(dāng)⊙P于AC切于A點(diǎn)時(shí)，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP= cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm﹣1cm=3cm，
即t=3，
當(dāng)⊙P于AC切于C點(diǎn)時(shí)，連接P′C，
則∠CP′N(xiāo)=∠ACP′=90°，∠P′N(xiāo)C=∠BNM=60°，CP′= cm，
∴P′N(xiāo)=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當(dāng)3≤t≤7時(shí)，⊙P和AC邊相切；
③如圖3，

當(dāng)⊙P切BC于N′時(shí)，連接PN′
則PN′= cm，∠PN′N(xiāo)=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N(xiāo)=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
注意：由于對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB右側(cè)時(shí)也存在⊙P切AB，此時(shí)PM也是為2，即P點(diǎn)為N點(diǎn)，同理可得P點(diǎn)在M點(diǎn)時(shí)，⊙P切BC．這兩點(diǎn)都在第二種情況運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)．
所以答案是：t=2或3≤t≤7或t=8．

【考點(diǎn)精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．