Question

【題目】射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經(jīng)過t秒，以點P為圓心， cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值（單位：秒）

Answer 1

【答案】t=2或3≤t≤7或t=8
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點，
∴MN= AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：
①如圖1，

當(dāng)⊙P切AB于M′時，連接PM′，
則PM′= cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm﹣2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，
當(dāng)⊙P于AC切于A點時，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP= cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm﹣1cm=3cm，
即t=3，
當(dāng)⊙P于AC切于C點時，連接P′C，
則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′= cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當(dāng)3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切；
③如圖3，

當(dāng)⊙P切BC于N′時，連接PN′
則PN′= cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
注意：由于對稱性可知，當(dāng)P點運動到AB右側(cè)時也存在⊙P切AB，此時PM也是為2，即P點為N點，同理可得P點在M點時，⊙P切BC．這兩點都在第二種情況運動時間內(nèi)．
所以答案是：t=2或3≤t≤7或t=8．

【考點精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．