Question

把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時AB與CD₁相交于點O，與D₁E₁相交于點F．

（1）求∠OFE₁的度數(shù)；

（2）求線段AD₁的長；

（3）若把三角形D₁CE₁繞著點C順時針再旋轉(zhuǎn)30°得△D₂CE₂，這時點B在△D₂CE₂的內(nèi)部，外部，還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度數(shù)；

（2）在Rt△AD₁O中根據(jù)勾股定理就可以求得AD₁的長；

（3）設(shè)BC（或延長線）交D₂E₂于點P，Rt△PCE₂是等腰直角三角形，就可以求出CB的長，判斷B在△D₂CE₂內(nèi)．

【解答】解：（1）如圖所示，∠3=15°，∠E₁=90°，

∴∠1=∠2=75°，

又∵∠B=45°，

∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；

（2）∵∠OFE₁=120°，

∴∠D₁FO=60°，

∵∠CD₁E₁=30°，

∴∠4=90°，

又∵AC=BC，∠A=45°

即△ABC是等腰直角三角形．

∴OA=OB=AB=3cm，

∵∠ACB=90°，

∴CO=AB=×6=3cm，

又∵CD₁=7cm，

∴OD₁=CD₁﹣OC=7﹣3=4cm，

在Rt△AD₁O中， cm；

（3）點B在△D₂CE₂內(nèi)部，

理由如下：設(shè)BC（或延長線）交D₂E₂于點P

則∠PCE₂=15°+30°=45°，

在Rt△PCE₂中，CP=CE₂=，

∵，即CB＜CP，

∴點B在△D₂CE₂內(nèi)部．

【點評】本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確認識旋轉(zhuǎn)角，理解旋轉(zhuǎn)的概念是解題的關(guān)鍵．