Question

如圖，△ABC是等邊三角形，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），以AP為邊作等邊△APE，連接CE．

（1）求證：AB∥CE；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得AE⊥CE？若存在，指出點(diǎn)P的位置并證明你的結(jié)論；若不存，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出角相等、邊相等，證出△ABP≌△ACE（SAS），得出對(duì)應(yīng)角相等，證出∠BAC=∠ACF，從而證出結(jié)論．

（2）由△ABP≌△ACE得出∠APB=∠AEC=90°，再由等邊三角形的性質(zhì)得出P為BC的中點(diǎn)．

【解答】證明：（1）∵△ABC、△APE是等邊三角形，

∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，AF=AE，

∴∠BAP=∠CAE，

在△ABF和△ACE中，

∴△ABP≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACP=60°，

∴∠BAC=∠ACF，

∴AB∥CE；

（2）存在點(diǎn)P使得AE⊥CE．此時(shí)P為BC的中點(diǎn)；理由如下：

∵AE⊥CE，

∴∠AEC=90°，

由（1）得：△ABP≌△ACE，

∴∠APB=∠AEC=90°，

∴AP⊥BC，

∵AB=AC，

∴P為BC的中點(diǎn)．

∴存在點(diǎn)P，使得AE⊥CE．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；由等邊三角形證明三角形全等是關(guān)鍵．