Question

設(shè)a²+1=3a，b²+1=3b，且a≠b，求代數(shù)式

1

a2

+

1

b2

的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：由于a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，且a≠b，于是a、b可看作方程x²-3x+1=0的兩實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=3，ab=1，再把

1

a2

+

1

b2

變形為

(a+b)2-2ab

(ab)2

，然后利用整體代入的方法計算．

解答：解：∵a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x²-3x+1=0的兩實數(shù)根，
∴a+b=3，ab=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=

a2+b2

a2b2

=

(a+b)2-2ab

(ab)2

=

32-2×1

12

=7．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．