如圖，設△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．

【答案】分析：作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF•AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．
解答：證明：作DE⊥AC于E，
則AC=AE，AB=5DE，
又∵G是AB的中點，
∴AG=ED．
∴ED2=AF•AE，
∴5ED2=AF•AE，
∴AB•ED=AF•AE，
∴=，
∴△BAF∽△AED，
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠DAB=90°，
∴∠ABF+∠DAB=90°，
即AD⊥BF．
點評：本題考查的是切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
2
，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．
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（1）求等腰梯形DEFG的面積；
（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．
探究1：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由；
探究2：設在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，也可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sad A=
1
2
．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．
根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：
（1）填空：sad60°=
1
1
，sad90°=
2
2
，sad120°=
3
3
；
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是
0＜sadA＜2
0＜sadA＜2
；
（3）如圖，已知sinA=
3
5
，其中A為銳角，試求sadA的值；
（4）設sinA=k，請直接用k的代數(shù)式表示sadA的值為
2-2
1-k2
．
2-2
1-k2
．
．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省沐川縣初三二調(diào)考試數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分.

1.甲題：若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根α、β.求實數(shù)k的取值范圍；設，求t的最小值.

2.乙題：如圖，在△ABC 中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直

線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

 

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，也可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sad A=數(shù)學公式．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．
根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：
（1）填空：sad60°=______，sad90°=______，sad120°=______；
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是______；
（3）如圖，已知數(shù)學公式，其中A為銳角，試求sadA的值；
（4）設sinA=k，請直接用k的代數(shù)式表示sadA的值為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：同步題 題型：解答題

如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直 線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；
（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

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