Question

【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．將大小不相同的正方形ABCD與正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG＝BE且DG⊥BE，請(qǐng)你給出證明；

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)

①猜想線段DG和BE的位置關(guān)系是　 　．

②若AD＝2，AE＝，求△ADG的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①DG⊥BE；②5.

【解析】

（1）利用正方形得到條件，判斷出△ADG≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①同理證明△ADG≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②分別計(jì)算DM、MG和AM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積可得結(jié)論．

證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE

在△ADG與△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE，

∵△ADG中，∠AGD+∠ADG＝90°，

∴∠AEB+∠ADG＝90°，

∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°，

∴∠DHE＝90°，

∴DG⊥BE；

（2）①DG⊥BE，

理由是：如圖2，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，

∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，

在△ADG和△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠ABE＝∠ADG

∴∠DBE＝∠ABE+∠ABD＝∠ABD+∠ADG＝90°，

∴DG⊥BE；

故答案為：DG⊥BE；

②如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M，

∠AMD＝∠AMG＝90°，

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠MDA＝45°

在Rt△AMD中，

∵∠MDA＝45°，AD＝2，

∴AM＝DM＝2，

在Rt△AMG中，

∵AM2+GM2＝AG2

∴GM＝＝3，

∵DG＝DM+GM＝2+3＝5，

∴S△ADG＝DGAM＝×5×2＝5．