Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AD是弦，E為弧

AD

的中點，OE的延長線交切線AC（切點為A）于點C，連接BE，DE．
（1）求證：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）由E為弧AD的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OE與AC垂直，可得出一對角互余，再由AC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到AC與AB垂直，得到另一對角互余，利用同角的余角相等得到∠C=∠FAO，最后利用同弧所對的圓周角相等及等量代換即可得證；
（2）利用垂徑定理的逆定理得到F為AD的中點，求出AF的長，在直角三角形AOF中，由OA與AF的長，利用勾股定理求出OF的長，再由三角形AOF與三角形AOC相似，利用相似得比例求出OC的長，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理即可求出AC的長．

解答：解：（1）∵E為弧

AD

的中點，
∴OE⊥AD，
∴∠C+∠CAF=90°，
∵AC與圓O相切，
∴CA⊥AB，
∴∠CAF+∠FAO=90°，
∴∠C=∠FAO，
∵∠BED與∠FAO都對

DB

，
∴∠BED=∠FAO，
∴∠BED=∠C；

（2）∵E為弧

AD

的中點，
∴OE⊥AD，
∴F為AD的中點，即AF=DF=

1

2

AD=4，
在Rt△AOF中，AO=5，AF=4，
根據(jù)勾股定理得：OF=

AO2-AF2

=3，
∵∠CAO=∠AFO=90°，∠AOF=∠COA，
∴△AOF∽△COA，
∴

AO

CO

=

OF

AO

，即AO²=CO•OF，
∴25=3CO，即CO=

25

3

，
在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理得：AC=

OC2-OA2

=

20

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及垂徑定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．