【題目】等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點(diǎn)P.
(1)若AE=CF;
①求證:AF=BE,并求∠APB的度數(shù);
②若AE=2,試求APAF的值;
(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng).
【答案】(1)①見解析;②12;(2)或3.
【解析】
試題分析:(1)①證明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)度,再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案.
(2)當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧,由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候,點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn),此時(shí)△ABP為等腰三角形,繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù),求得答案.點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)B向AC做的垂線段的長(zhǎng)度;
(1)①證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴,即,所以APAF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.
①當(dāng)AE=CF時(shí),點(diǎn)P的路徑是一段弧,由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候,點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn),此時(shí)△ABP為等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=,
點(diǎn)P的路徑是.
②當(dāng)AE=BF時(shí),點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)C向AB作的垂線段的長(zhǎng)度;因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長(zhǎng)為6,所以點(diǎn)P的路徑為:.
所以,點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,為了擴(kuò)大銷售、增加盈利盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出4件,若商場(chǎng)平均每天盈利2100元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?請(qǐng)完成下列問題:
(1)未降價(jià)之前,某商場(chǎng)襯衫的總盈利為 元.
(2)降價(jià)后,設(shè)某商場(chǎng)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,則每件襯衫盈利 元,平均每天可售出 件(用含x的代數(shù)式進(jìn)行表示)
(3)請(qǐng)列出方程,求出x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共2500噸,每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)0.3萬(wàn)元,每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)0.4萬(wàn)元.設(shè)該工廠生產(chǎn)了甲產(chǎn)品x(噸),生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)為y(萬(wàn)元).
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要A原料0.25噸,每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要A原料0.5噸.受市場(chǎng)影響,該廠能獲得的A原料至多為1000噸,其它原料充足.求出該工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為多少噸時(shí),能獲得最大利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,在△ABC中,∠A=∠ABC,直線EF分別交△ABC的邊AB,AC和CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,E,F.
(1)求證:∠F+∠FEC=2∠A;
(2)過B點(diǎn)作BM∥AC交FD于點(diǎn)M,試探究∠MBC與∠F+∠FEC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上,且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
(1)如圖1,當(dāng)DE=DF時(shí),圖1中是否存在于AB相等的線段?若存在,請(qǐng)找出并加以證明.若不存在說明理由.
(2)如圖2,當(dāng)DE=kDF(其中0<k<1)時(shí),若∠A=90°,AF=m,求BD的長(zhǎng)(用含k,m的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,的頂點(diǎn)在雙曲線的圖象上,直角邊在軸上,,,,連接,,則的值是( )
A. 4 B. -4 C. 2 D. -2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明騎自行車從甲地到乙地,圖中的折線表示小明行駛的路程與所用時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系.試根據(jù)函數(shù)圖像解答下列問題:
(1)小明在途中停留了____,小明在停留之前的速度為____;
(2)求線段的函數(shù)表達(dá)式;
(3)小明出發(fā)1小時(shí)后,小華也從甲地沿相同路徑勻速向乙地騎行,時(shí),兩人同時(shí)到達(dá)乙地,求為何值時(shí),兩人在途中相遇.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某日上午點(diǎn)鐘,市氣象局測(cè)得在城市正東方向處點(diǎn)有一臺(tái)風(fēng)中心正在以千米/時(shí)的速度沿西偏北的方向迅速移動(dòng)(如圖所示).據(jù)資料表明,在距離臺(tái)風(fēng)中心范圍內(nèi)為嚴(yán)重影響區(qū)域(假定臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)方向不變,影響力不變).(參考數(shù)據(jù):,).
(1)市會(huì)不會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的嚴(yán)重影響,為什么;
(2)如果市會(huì)受嚴(yán)重影響,那么這次臺(tái)風(fēng)對(duì)市嚴(yán)重影響多長(zhǎng)時(shí)間?
(3)市規(guī)定臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響前一小時(shí)向市民發(fā)出預(yù)警警報(bào).如果市會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響,那么市應(yīng)在幾點(diǎn)鐘發(fā)出預(yù)警警報(bào)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,且∠EAF=45°,AH⊥EF于點(diǎn)H,AH=10,連接BD,分別交AE、AH、AF于點(diǎn)P、G、Q.
(1)求△CEF的周長(zhǎng);
(2)若E是BC的中點(diǎn),求證:CF=2DF;
(3)連接QE,求證:AQ=EQ.
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