【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上,且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
(1)如圖1,當(dāng)DE=DF時(shí),圖1中是否存在于AB相等的線段?若存在,請(qǐng)找出并加以證明.若不存在說明理由.
(2)如圖2,當(dāng)DE=kDF(其中0<k<1)時(shí),若∠A=90°,AF=m,求BD的長(zhǎng)(用含k,m的式子表示).
【答案】(1)存在,AB=BE,理由見解析;(2)BD=;
【解析】試題(1)存在,AB=BE,理由如下:
延長(zhǎng)BA、EF交于點(diǎn)G,連接AE,由已知可得∠EDG=∠AFG,又∠G=∠G為公共角,從而可得△GAF∽△GED,所以,又∠G=∠G,從而可得△GAE∽△GFD,所以有∠ADF=∠AEF,由∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠BED=180°,可得∠AEF=∠DEB,從而得∠BEA=∠DEF,由于DE=DF,可得∠DEF=∠DFE,從而可得∠DAE=∠BEA,繼而得AB=EB;
(2)連接AE,由(1)知,∠AEF=∠DEB,∠AFE=∠BDE,從而可得△EDB∽△EFA,繼而可得,∠B=∠EAF,由∠BAC=90°,從而可得∴∠AEB=90°繼而可得∠DEF=90°,由DE=kDF,可得EF=DF,從而可得BD=.
試題解析:(1)存在,AB=BE,理由如下:
延長(zhǎng)BA、EF交于點(diǎn)G,連接AE,∵∠BDE+∠EDG=180°,∠AFE+∠AFG=180°,∠AFE=∠BDE,∴∠EDG=∠AFG,又∵∠G=∠G,∴△GAF∽△GED,∴,又∵∠G=∠G,∴△GAE∽△GFD,∴∠ADF=∠AEF,∵∠ADF+∠DEC=180°,∠DEC+∠BED=180°,∴∠AEF=∠DEB,∴∠BEA=∠DEF,∵DE=DF,∴∠DEF=∠DFE,∵∠DAE=∠G+∠AEF,∠DFE=∠G+∠ADF,∴∠DAE=∠BEA,∴AB=EB;
(2)連接AE,由(1)知,∠AEF=∠DEB,∠AFE=∠BDE,∴△EDB∽△EFA,∴,∠B=∠EAF,∵∠BAE+∠EAF=∠BAC=90°,∴∠B+∠BAE=90°,∴∠AEB=90°,即∠BED+∠AED=90°,∴∠AED+∠AEF=90°,即∠DEF=90°,∴EF2=DF2-DE2,∵DE=kDF,∴EF=DF,∴,即,∴BD=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,.
求的取值范圍.
若,試說明此方程有兩個(gè)負(fù)根.
在的條件下,若,求的值.
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【題目】已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi),∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖1),
①判斷△ABC的形狀,并說明理由;
②求證:BD=AE;
(2)當(dāng)α=90°時(shí)(如圖2),求的值.
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【題目】(1)如圖①,,射線在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)、分別在的邊、上,且,于點(diǎn),于點(diǎn).求證:;
(2)如圖②,點(diǎn)、分別在的邊、上,點(diǎn)、都在內(nèi)部的射線上,、分別是、的外角.已知,且.求證:;
(3)如圖③,在中,,.點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)、在線段上,.若的面積為15,求與的面積之和.
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【題目】等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點(diǎn)P.
(1)若AE=CF;
①求證:AF=BE,并求∠APB的度數(shù);
②若AE=2,試求APAF的值;
(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng).
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【題目】如圖,長(zhǎng)方形中,,,點(diǎn)在邊上,且,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,將四邊形沿折疊,若點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在邊上,則的長(zhǎng)為____.
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【題目】如圖,正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)小長(zhǎng)方形組成的,根據(jù)圖形解答下列問題:
(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示正方形的面積,并寫成一個(gè)等式;
(2)運(yùn)用(1)中的等式,解決以下問題:
①已知,,求的值;
②已知,,求的值.
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【題目】已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度).
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1,點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 ;
(2)以點(diǎn)B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點(diǎn)C2的坐標(biāo)是 .
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