Question

已知常數(shù)a為實數(shù)，討論關(guān)于x的方程（a-2）x²+（-2a+1）x+a=0的實數(shù)根的個數(shù)情況．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：計算題,分類討論

分析：分類討論：當a-2=0，即a=2時，方程變?yōu)橐辉�一次方程，所以有一個根；當a-2≠0，即a≠2時，先計算△=（-2a+1）²-4a（a-2）=4a+1，△=4a+1＞0，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=4a+1=0，原方程有兩個相等的實數(shù)根；△=4a+1＜0，原方程沒有實數(shù)根；分別可求出對應(yīng)的a的值或取值范圍，最后綜合表述即可．

解答：解：當a-2=0，即a=2時，
方程變?yōu)椋?3x+2=0，
解得x=

2

3

．
當a-2≠0，即a≠2時，
△=（-2a+1）²-4a（a-2）=4a+1，
若4a+1＞0，即a＞-

1

4

時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；
若4a+1=0，即a=-

1

4

時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；
若4a+1＜0，即a＜-

1

4

時，原方程沒有實數(shù)根．
綜上所述得：當a＜-

1

4

時，原方程沒有實數(shù)根；當a=-

1

4

時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；當a＞-

1

4

且a≠2時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；當a=2時，方程有一個實數(shù)根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．