Question

【題目】閱讀理解：
如圖①，圖形l外一點(diǎn)P與圖形l上各點(diǎn)連接的所有線段中，若線段PA1最短，則線段PA1的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)P到圖形l的距離．

例如：圖②中，線段P1A的長(zhǎng)度是點(diǎn)P1到線段AB的距離；線段P2H的長(zhǎng)度是點(diǎn)P2到線段AB的距離．
解決問(wèn)題：
如圖③，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，4），（12，7），點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求點(diǎn)P到線段AB的距離；
（2）t為何值時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離為5？
（3）t滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離不超過(guò)6？（直接寫(xiě)出此小題的結(jié)果）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，

則AC=4、OC=8，

當(dāng)t=4時(shí)，OP=4，

∴PC=4，

∴點(diǎn)P到線段AB的距離PA= = =4 ；

（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)時(shí)，∵AC=4、P1A=5，

∴P1C= = =3，

∴OP1=5，即t=5；

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥AB，交x軸于點(diǎn)P2，

∴∠CAP2+∠EAB=90°，

∵BD∥x軸、AC⊥x軸，

∴CE⊥BD，

∴∠ACP2=∠BEA=90°，

∴∠EAB+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠P2AC，

在△ACP2和△BEA中，

∵ ，

∴△ACP2≌△BEA（ASA），

∴AP2=BA= = =5，

而此時(shí)P2C=AE=3，

∴OP2=11，即t=11；

（3）解：如圖3，

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)，且AP3=6時(shí)，

則P3C= = =2 ，

∴OP3=OC﹣P3C=8﹣2 ；

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)，且P3M=6時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥P3M于點(diǎn)N，

則四邊形AP2NM是矩形，

∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，

∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，

∴ = ，即 = ，

∴P2P3= ，

∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+ = ，

∴當(dāng)8﹣2 ≤t≤ 時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離不超過(guò)6．

【解析】（1）類比定義，過(guò)P向直線引垂線，垂足不在線段上，因此P到線段的距離就是PA，須引垂線構(gòu)造直角三角形；（2）須分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)時(shí)②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)時(shí)；（3）模仿（2），分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)，先計(jì)算臨界點(diǎn)，即AP3=6和P3M=6.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離和全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等才能正確解答此題．