Question

如圖①，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)CE垂直于弦BD于點(diǎn)E，連BC．
（1）求證：∠ABC=∠EBC；
（2）如圖②，延長(zhǎng)DO交AC于點(diǎn)P，若

AP

CP

=

6

5

，求sin∠A的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OC，由圓的半徑相等所產(chǎn)生的等腰三角形以及切線(xiàn)的性質(zhì)即可證明：∠ABC=∠EBC；
（2）延長(zhǎng)DP交圓于H，設(shè)AP=6k，則CP=5k，圓的半徑為r，根據(jù)相較弦定理以及銳角三角形的定義即可求出sin∠A的值．

解答：解：（1）連接OC，
∵CE是圓的切線(xiàn)，
∴CE⊥OC，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∵CE垂直于弦BD于點(diǎn)E，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ABC=∠EBC；
（2）延長(zhǎng)DP交圓于H，設(shè)AP=6k，則CP=5k，圓的半徑為r，OP=x
∵AP•CP=PD•PH，
∴5k•6k=（x+r）（r-x），
∴r²-x²=30k²，
∴OP²=r²-30k²，
∵sin∠A=

BC

AB

=

OP

OA

=

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、圓的內(nèi)心的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．