Question

在Rt△ABC中，∠C=90°．AC=4，BC=3．
（1）現(xiàn)按如圖1方式在△ABC內(nèi)內(nèi)接一個(gè)正方形DEFG，求正方形DEFG的邊長；
（2）如圖2，△ABC內(nèi)有并排的兩個(gè)全等的正方形GDKH和正方形HKEF，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長；
（3）如圖3，在△ABC中從左向右依次作內(nèi)接正方形CNDM、正方形MKEH，分別求出正方形CNDM和正方形MKEH的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，作CN⊥AB，再根據(jù)GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)即可求出正方形的邊長；
（2）作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據(jù)對應(yīng)邊的比等于相似比可求出正方形的邊長；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出正方形CNDM的邊長，正方形MKEH的邊長求法相同．

解答：解：（1）在圖1中，作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴

1

2

AB•CN=

1

2

BC•AC，
CN=

12

5

，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
設(shè)正方形邊長為x，
則

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
∴x=

60

37

；

（2）在圖2中，作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
設(shè)每個(gè)正方形邊長為x，則

12 5 -x

12 5

=

2x

5

，
∴x=

60

49

．

（3）設(shè)正方形CNDM的邊長為y，則

y

3

=

4-y

4

，
解得y=

12

7

；
設(shè)正方形MKEH的邊長為z，則

z

3

=

4- 12 7 -z

4

，
解得z=

48

49

．
故正方形CNDM的邊長為

12

7

，正方形MKEH的邊長為

48

49

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等求出邊長，是解決本題的關(guān)鍵．