【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動點(diǎn).
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)動點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△PBC面積最大,求出此時P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積.
(3)是否存在點(diǎn)P,使△POC是以OC為底邊的等腰三角形?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
【答案】(1)y=x2﹣3x﹣4;(2)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣6)時,△PBC的最大面積為8;(3)存在,點(diǎn)P的其坐標(biāo)為.
【解析】試題分析:(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)過P作PE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)F,用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長,則可表示出△PBC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上,則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:解:(1)設(shè)拋物線解析式為,把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得: ,解得: ,∴拋物線解析式為;
(2)∵點(diǎn)P在拋物線上,∴可設(shè)P(t,t2﹣3t﹣4),過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)F,如圖2,∵B(4,0),C(0,﹣4),∴直線BC解析式為y=x﹣4,∴F(t,t﹣4),∴PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)=PFOB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,∴當(dāng)t=2時,S△PBC最大值為8,此時t2﹣3t﹣4=﹣6,∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣6)時,△PBC的最大面積為8;
(3)作OC的垂直平分線DP,交OC于點(diǎn)D,交BC下方拋物線于點(diǎn)P,如圖1,∴PO=PD,此時P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn),∵C(0,﹣4),∴D(0,﹣2),∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2,代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=,∴存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為(,﹣2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求證方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(2)當(dāng)m為何值時,方程的兩根互為相反數(shù)?并求出此時方程的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】工人師傅用一塊長為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器,需要將四角各裁掉一個正方形.(厚度不計(jì))
(1)在圖中畫出裁剪示意圖,用實(shí)線表示裁剪線,虛線表示折痕;并求長方體底面面積為12dm2時,裁掉的正方形邊長多大?
(2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍,并將容器進(jìn)行防銹處理,側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.5元,底面每平方分米的費(fèi)用為2元,裁掉的正方形邊長多大時,總費(fèi)用最低,最低為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的有( )
①有且只有一條直線與已知直線平行;
②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
③過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
④平行于同一條直線的兩條直線平行
A. ①②B. ②④C. ③④D. ①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(﹣8,3),B(﹣4,0),C(﹣4,3),∠ABC=α°.拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C,且對稱軸為x=﹣,并與y軸交于點(diǎn)G.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)將Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位,使B點(diǎn)移到點(diǎn)E,然后將三角形繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)α°得到△DEF.若點(diǎn)F恰好落在拋物線上.①求m的值;
②連接CG交x軸于點(diǎn)H,連接FG,過B作BP∥FG,交CG于點(diǎn)P,求證:PH=GH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的三條邊分別為5、x、7,則x的取值范圍為( 。
A. 5<x<7B. 2<x<12C. 5≤x≤7D. 2≤x≤12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小昆和小明玩摸牌游戲,游戲規(guī)則如下:有3張背面完全相同,牌面標(biāo)有數(shù)字1、2、3的紙牌,將紙牌洗勻后背面朝上放在桌面上,隨機(jī)抽出一張,記下牌面數(shù)字,放回后洗勻再隨機(jī)抽出一張.
(1)請用畫樹形圖或列表的方法(只選其中一種),表示出兩次抽出的紙牌數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果;
(2)若規(guī)定:兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為奇數(shù),則小昆獲勝,兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為偶數(shù),則小明獲勝,這個游戲公平嗎?為什么?
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