Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點(diǎn)。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）設(shè)此拋物線與直線在第二象限交于點(diǎn)D，平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，連接BM、CM、NC、NB，是否存在的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）該拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q（，），使得△QAC的周長(zhǎng)最��；（3）當(dāng)m=-1時(shí)（在-1-＜m＜0內(nèi)），四邊形BNCM的面積S最大

【解析】

試題分析：（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=-x2+bx+c確定解析式．

（2）A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q．

（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．

試題解析：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，O），B（-4，0）兩點(diǎn)，

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0

解得：b=-3，c=4

所以，該拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；

（2）存在

∵由前面的計(jì)算可以得到，C（0，4），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

∴由拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=-對(duì)稱，

∴當(dāng)QC+QA最小時(shí)，△QAC的周長(zhǎng)就最小

∴當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC上時(shí)QC+QA最小，（1分）

此時(shí)：直線BC的解析式為y=x+4，

當(dāng)x=時(shí)，y=，

∴在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q（，），使得△QAC的周長(zhǎng)最小；

（3）由題意，M（m，-m2-3m+4），N（m，-m）

∴線段MN=-m2-3m+4-（-m）=-m2-2m+4=-（m+1）2+5

∵S四邊形BNCM=S△BMN+S△CMN=0．5MN×BO=2MN=-2（m+1）2+10

∴當(dāng)m=-1時(shí)（在-1-＜m＜0內(nèi)），四邊形BNCM的面積S最大．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．