Question

【題目】函數(shù)上的定點(diǎn)是指，一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)無(wú)論參數(shù)取何值，函數(shù)的圖象都過(guò)某一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為定點(diǎn)．例如，在函數(shù)y＝kx中，當(dāng)x＝0時(shí)，無(wú)論參數(shù)k取何值，函數(shù)值y＝0，所以這個(gè)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，0）．

（1）分別求函數(shù)y＝kx+2k和y＝kx2﹣kx+2019的定點(diǎn)；

（2）若過(guò)原點(diǎn)的兩條直線OA、OB分別與二次函數(shù)y＝x2交于點(diǎn)A（m，m2）和點(diǎn)B（n，n2）（mn＜0）且OA⊥OB，試求直線AB上的定點(diǎn)；

（3）若直線CD：y＝kx+2k+5與拋物線y＝x2交于C、D兩點(diǎn)，試在拋物線y＝x2上找一定點(diǎn)E，使∠CED＝90°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)E到直線CD的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)（﹣2，0）；定點(diǎn)（1，2019）、（0，2019）；（2）定點(diǎn)為E（2，4）；

【解析】

（1）y＝kx+2k＝k（x+2），當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝0，故過(guò)定點(diǎn)（﹣2，0），即可求解；

（2）直線AB的表達(dá)式為： ，則tan∠AOM＝tan∠OBM，即： ，解得 ，故直線AB的表達(dá)式為： ，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，故直線AB過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）；

（3）直線CD的表達(dá)為：y＝（m+n）x﹣mn，則m+n＝k，mn＝﹣2k﹣5，tan∠CEM＝tan∠EDN，即：t2+（m+n）t+mn＝﹣1，即：t2﹣4+（t﹣2）k＝0，即可求解．

解：（1）y＝kx+2k＝k（x+2），當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝0，故過(guò)定點(diǎn)（﹣2，0）；

y＝kx2﹣kx+2019＝ ，當(dāng)x＝0或1時(shí)，y＝2019，故過(guò)定點(diǎn)（1，2019）、（0，2019）；

（2）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：

直線AB的表達(dá)式為：

分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線于點(diǎn)M、N，則∠AOM＝∠OBN，

則tan∠AOM＝tan∠OBN，即： ，解得：

故直線AB的表達(dá)式為： ，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

故直線AB過(guò)點(diǎn)（0，2）；

（3）設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為：（m，m2）、（n，n2），

同理可得：直線CD的表達(dá)為：

則m+n＝k，mn＝﹣2k﹣5，

設(shè)點(diǎn)E（t，t2），

同理可得：tan∠CEM＝tan∠EDN，即：

化簡(jiǎn)得：t2+（m+n）t+mn＝﹣1，

即：t2﹣4+（t﹣2）k＝0，

當(dāng)t＝2時(shí)，上式橫成立，

故定點(diǎn)為E（2，4）；

直線CD：y＝kx+2k+5過(guò)定點(diǎn)H（﹣2，5），

∵點(diǎn)到直線的距離≤EH，

故點(diǎn)E到直線的最大距離為