Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，點O為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AOB=

 

?．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：本題求的是∠AOB的度數(shù)，而題目卻沒有明確告訴任何角的度數(shù)，因此要從隱含條件入手；CD是AB邊上的高，則∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；O是△ACD的內(nèi)心，則AO、CO分別是∠DAC和∠DCA的角平分線，即∠OAC+∠OCA=45°，由此可求得∠AOC的度數(shù)；再根據(jù)∠AOB和∠AOC的關(guān)系，得出∠AOB．

解答：解：如圖．連接CO，并延長AO到BC上一點F，
∵CD為AB邊上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°；
又∵O為△ACD的內(nèi)切圓圓心，
∴AO、CO分別是∠BAC和∠ACD的角平分線，
∴∠OAC+∠OCA=

1

2

（∠BAC+∠ACD）=

1

2

×90°=45°，
∴∠AOC=135°；
在△AOB和△AOC中，

AB=AC ∠BAO=∠CAO AO=AO

，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠AOB=∠AOC=135°．
故答案為：135°．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的意義、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)；難點在于根據(jù)題意畫圖，由于沒任何角的度數(shù)，需要充分挖掘隱含條件．此類題學生丟分率較高，需注意．