Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx²-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為

5

．設⊙M與y軸交于點D，拋物線的頂點為點E．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）求證：△BDO∽△BCE；
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先求出C（0，-3），根據(jù)兩點間的距離公式，由MC=

5

得到（1-0）²+（m+3）²=5，解得m₁=-1，m₂=-5，設A點坐標為（t，0），再根據(jù)兩點間的距離公式，當m=-1時，（t-1）²+（0+1）²=5，解得t₁=-1，t₂=3，則A（-1，0），B（3，0）；當m=-5時，（t-1）²+（0-5）²=5，解得t₁=t₂=1，不合題意舍去；
于是可設交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a=1，于是得到拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）作MH⊥CD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CH=DH，利用C（0，-3），H（-1，0）得到DH=2，則D（0，1），再利用配方法得到y(tǒng)=x²-2x-3=（x-1）²-4，所以E（1，-4），接著根據(jù)兩點間的距離公式計算出CE=

2

，BE=2

5

，BC=3

2

，則CE²+BC²=BE²，根據(jù)勾股定理的逆定理得△BCE為直角三角形，∠BCE=90°，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得△BDO∽△BCE；
（3）由于以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似，利用△BCE的特征得到△PAC為直角三角形，且兩直角邊的比為1：3，然后分類討論：當∠APC=90°時，點P與點O重合，得到P點坐標為（0，0）；當∠PAC=90°時，作AP₁⊥AC交y軸于P₁，如圖，證明Rt△AOP₁∽Rt△COA，利用相似比計算出OP₁，得到P₁的坐標；當∠ACP=90°時，作CP₂⊥AC交y軸于P₂，如圖，證明Rt△COP₂∽Rt△AOC利用相似比計算出OP₂，得到P₂的坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=ax²+bx²-3=-3，則C（0，-3），
∵MC=

5

，
∴（1-0）²+（m+3）²=5，解得m₁=-1，m₂=-5，
設A點坐標為（t，0），而MA=

5

當m=-1時，（t-1）²+（0+1）²=5，解得t₁=-1，t₂=3，則A（-1，0），B（3，0）；
當m=-5時，（t-1）²+（0-5）²=5，解得t₁=t₂=1，不合題意舍去；
∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）作MH⊥CD于H，如圖，
∴CH=DH，
∵C（0，-3），H（-1，0），
∴CH=2，
∴DH=2，
∴OD=DH-OH=1，
∴D（0，1），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴E（1，-4），
∴CE=

12+(-4+3)2

=

2

，BE=

(1-3)2+(-4)2

=2

5

，
而BC=

32+32

=3

2

，
∴CE²+BC²=BE²，
∴△BCE為直角三角形，∠BCE=90°，
∵

OB

BC

=

3

3 2

=

1

2

，

OD

CE

=

1

2

，
∴

OB

BC

=

OD

CE

，
∴△BDO∽△BCE；
（3）存在．
∵以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似，
∴△PAC為直角三角形，且兩直角邊的比為1：3，
當∠APC=90°時，點P與點O重合，此時P點坐標為（0，0）；
當∠PAC=90°時，作AP₁⊥AC交y軸于P₁，如圖，
∵∠P₁AO+∠CAO=90°，
∠P₁AO+∠AP₁O=90°，
∴∠CAO=∠AP₁O，
∴Rt△AOP₁∽Rt△COA
∴OA²=OP₁•OC，
∴OP₁=

1

3

，
∴P₁的坐標為（0，

1

3

）；
當∠ACP=90°時，作CP₂⊥AC交y軸于P₂，如圖，
同樣可證明Rt△COP₂∽Rt△AOC得到OC²=OP₂•OA，
∴OP₂=9，
∴P₂的坐標為（9，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，0），（0，

1

3

），（9，0）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的定義、垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用兩點間的距離公式計算線段的長．