Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD平分∠ACB，CD交OB于點E．
（1）求證：△DBC∽△DEB；
（2）若DF⊥AC于點F，交AO于點G．
①求證：DF=BC+AF；
②若EG=10，EA=16，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）由DC平分∠ACB可求得

AD

=

BD

，依據(jù)等弧所對的圓周角相等，可求得∠2=∠EBD，進而求得三角形相似．
（2）①過D點作DH⊥BC，交CB的延長線于H，可證得△ADF≌△BDH依據(jù)全等三角形的性質(zhì)進而求得DF=BC+AF；
②易證得△AED∽△DEG，然后設(shè)GO=x，可得OA=OD=6+x，OE=GE-GO=10-x，然后由在Rt△DOE中，DE²=OD²+OE²，可得方程，解此方程即可求得GO的長，繼而求得OA的長，即圓的半徑．

解答：
解：（1）∵∠ACD和∠DBA對同弧，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠ACD=∠DCB，
∴∠DCB=∠DBA，
∵∠CDB=∠BDE，
∴△DBC∽△DEB；
（2）①∵∠ACD=∠DCB，
∴AD=BD，
過D點作DH⊥BC，交CB的有延長線與H，
∵∠DBH=∠1+∠2，∠DAF=∠3+∠4，∠1=∠4，∠3=∠2，
∴∠DBH=∠DAF，
在△ADF與△BDH中

∠DHB=∠DFA ∠DBH=∠DAF DB=DA

，
∴△ADF≌△BDH（AAS），
∴DF=DH，AF=BH，
∵∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠3=45°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠DHC=90°，
∴∠2=∠CDH，
∴DH=CH，
∴DF=DH=BC+BH，
∴DF=BC+AF；

②∵∠BAD=∠ABD=45°，△DFC是等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠FCD=45°，
∴∠BAD=∠CDF=45°，
∵∠AED=∠DEG（公共角），
∴△AED∽△DEG，
∴DE²=GE•EA，
∴DE=

GE•EA

=

10×16

=4

10

∵EG=10，EA=16，
∴AG=6，
設(shè)GO=x，OD=OA=6+x，
∴OE=GE-OG=10-x，
在Rt△DOE中，DE²=OE²+OD²，
∴（4

10

）²=（10-x）²+（6+x）²，
解得：x=6，
∴OD=OA=6+x=6+6=12．
∴⊙O的半徑為12．

點評：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及相交弦定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．