【題目】如圖,四邊形中, ,過點作的平行線,交于點,交于點.
(1)求證:是的中點.
(2)已知,是射線上的動點.設,
①若四邊形的面積為,求關于的函數(shù)關系式;
②在①中,當為何值時,的周長最小,并求出此時的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)①;②,.
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質求出,根據(jù),推出,即可得出答案;
(2)①根據(jù)勾股定理求出AC,求出CF的長,得出四邊形BCDP是梯形,根據(jù)梯形的面積公式得出即可;
②求出CP+BP最小時,△BCP的周長最小,根據(jù)對稱得出當P到E時,△PBC的周長最小,證△DAE∽△ACB,得出比例式,求出DE的值即可.
(1)證明:
,即是的中點
(2)①在Rt△ACB中,AB=15,BC=9,由勾股定理得:
∵DF∥BC,
∴梯形BCDP的面積y=(x+9)×6=3x+27,
即y=3x+27(x>0).
②△PBC的周長是BC+CP+PB=9cm+CP+BP,
要使△PBC的周長最小,只要CP+BP最小即可,
∵CF=AF,DE⊥AC,
∴C、A關于DF對稱,
即當點P運動到點E時,CP+BP最小,此時△PBC的周長最小, 求得AE=BE=AB=cm,
∵DE∥BC,
∴∠DEA=∠CBA,
∵∠DAE=∠ACB=90°,
∴△DAE∽△ACB,
∴,
∴,
當時,的周長最小,此時.
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【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB =90°,∠CAB= 30°,△ABD是等邊三角形. 如圖2,將四邊形ACBD折疊,使D與C重合,EF為折痕,則∠ACE的正弦值為( )
A.B.C.D.
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【題目】目前,我國的空氣質量得到了大幅度的提高.現(xiàn)隨機調查了某城市1個月的空氣質量情況,并將監(jiān)測的結果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
(1)本次調查中,一共調查的天數(shù)為_______天;扇形圖中,表示“輕度污染”的扇形的圓心角為______度;
(2)將條形圖補充完整;
(3)估計該城市一年(以365天計算)中,空氣質量未達到優(yōu)的天數(shù).
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【題目】扶貧工作小組對果農(nóng)進行精準扶貧,幫助果農(nóng)將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場.與去年相比,今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克,每千克的平均批發(fā)價比去年降低了1元,批發(fā)銷售總額比去年增加了.
(1)已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元,求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是多少元?
(2)某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā),專營這種水果.調查發(fā)現(xiàn),若每千克的平均銷售價為41元,則每天可售出300千克;若每千克的平均銷售價每降低3元,每天可多賣出180千克,設水果店一天的利潤為元,當每千克的平均銷售價為多少元時,該水果店一天的利潤最大,最大利潤是多少?(利潤計算時,其它費用忽略不計.)
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【題目】如圖是規(guī)格為的正方形網(wǎng)格,請在所給網(wǎng)格中按下列要求操作:
(1)請在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系,使點坐標為,點坐標為;
(2)在第二象限內的格點上畫一點,使點與線段組成一個以為底的等腰三角形,且腰長是無理數(shù), 則點坐標是________,的周長是_________(結果保留根號);
(3)畫出以點為旋轉中心、旋轉后的,連結和,試說出四邊形是何特殊四邊形, 并說明理由.
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【題目】在“停課不停學”期間,某校數(shù)學興趣小組對本校同學觀看教學視頻所使用的工具進行了調查,并從中隨機抽取部分數(shù)據(jù)進行分析,將分析結果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖.
工具 | 人數(shù) | 頻率 |
手機 | 44 | a |
平板 | b | 0.2 |
電腦 | 80 | c |
電視 | 20 | d |
不確定 | 16 | 0.08 |
請根據(jù)上述信息回答下列問題:
(1)所抽取出來的同學共 人,表中a= ,b= ;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校觀看教學視頻的學生總人數(shù)為2500人,則使用電腦的學生人數(shù)約 人.
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【題目】如圖所示,平面直角坐標的原點是等邊三角形的中心,A(0,1),把△ABC繞點O順時針旋轉,每秒旋轉60°,則第2017秒時,點A的坐標為( 。
A. (0,1) B. (﹣,﹣) C. (,) D. (,﹣)
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【題目】我市某中學決定在學生中開展丟沙包、打籃球、跳大繩和踢毽球四種項目的活動,為了解學生對四種項目的喜歡情況,隨機調查了該校m名學生最喜歡的一種項目(每名學生必選且只能選擇四種活動項目的一種),并將調查結果繪制成如下的不完整的統(tǒng)計圖表:
學生最喜歡的活動項目的人數(shù)統(tǒng)計表
項目 | 學生數(shù)(名) | 百分比 |
丟沙包 | 20 | 10% |
打籃球 | 60 | p% |
跳大繩 | n | 40% |
踢毽球 | 40 | 20% |
根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)m= ,n= ,p= ;
(2)請根據(jù)以上信息直接補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調查結果,請你估計該校2000名學生中有多少名學生最喜歡跳大繩.
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【題目】已知拋物線L:y=mx2+nx-6經(jīng)過點(-2,2),與x軸相交于A(-3,0)和B兩點,并與y軸相交于點C.拋物線L′與L關于坐標原點對稱,點A,B在L′上的對應點分別為A′和B′.
(1)求拋物線L的函數(shù)表達式.
(2)在拋物線L′上是否存在點P,使得△PA′A的面積等于△CB′B的面積?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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