【題目】如圖(1)在平面直角坐標系中,四邊形OBCD是正方形,且D(0,2),點E是線段OB延長線上一點,M是線段OB上一動點(不包括O、B),做MN⊥DM,垂足為M,交∠CBE的平分線于點N.
(1)求點C的坐標;
(2)求證:MD=MN;
(3)如圖(2),連接DN交BC于F,連接FM,探究線段MF、CF、OM之間有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
圖(1) 圖(2)
【答案】(1)C(2,2);(2)見解析(3)見解析
【解析】分析:(1)由正方形的性質(zhì)可以得出OB=BC=OD就可以求出點C的坐標;
(2)在OD上取一點G,使OG=OM,就可以得出DG=BM,從而得出△GDM≌△BMN,就可以得出結(jié)論;
(3)由旋轉(zhuǎn)可以得出△FCD≌△AOD,就可以得出OA=FC,∠ADM=∠CDM,進而得出△DMA≌△DMF,就可以得出AM=FM而得出結(jié)論.
詳解:
(1)∵四邊形OBCD是正方形,
∴OB=BC=OD,∠DOB=∠OBC=∠C=90°.
∵D(0,2),
∴OD=2,
∴OB=BC=OD=2,
∴C(2,2);
(2)在OD上取一點G,使OG=OM,
∴∠OGM=∠OMG=45°,
∴∠DGM=135°.
∵OD=OB,
∴OD-OG=OB-OM,
∴GD=BM.
∵MN⊥DM,
∴∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NMB=90°.
∵∠DMO+∠ODM=90°,
∴∠ODM=∠BMN.
∵BN平分∠CBE,
∴∠NBE=×90°=45°,
∴∠MBN=135°,
∴∠DGM=∠MBN.
在△GDM和△BMN中
,
∴△GDM≌△BMN(ASA),
∴MD=MN;
(3)OM+CF=MF
理由:∵MD=MN,∠DMN=90°,
∴∠MDN=45°,
∴∠ODM+∠FDC=45°.
∵△DCF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得△DOA,
∴△DCF≌△DOA,
∴AO=FC,∠ADO=∠FDC,AD=FD.
∴∠ADO+∠MDO=45°,
即∠ADM=45°.
∴∠ADM=∠CDM.
在△DMA和△DMF中
,
∴△DMA≌△DMF(SAS),
∴AM=FM.
∵AM=AO+MO,
∴AM=CF+MO,
∴OM+CF=MF.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求證:AE是⊙O的切線;
(3)當BC=4時,求劣弧AC的長.
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【題目】某自行車廠一周計劃生產(chǎn)1 400輛自行車,平均每天生產(chǎn)200輛.由于各種原因,實際上每天的生產(chǎn)量與計劃量相比有出入.表是某周的生產(chǎn)情況(增產(chǎn)為正,減產(chǎn)為負):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 | +5 | ﹣2 | ﹣4 | +13 | ﹣10 | +16 | ﹣9 |
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期五生產(chǎn)自行車 輛;
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)了 輛自行車;
(3)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實際生產(chǎn)自行車 輛;
(4)該廠實行計件工資制,每生產(chǎn)一輛得60元,超額完成則每輛獎15元,少生產(chǎn)一輛則扣15元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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【題目】設(shè)點Q到圖形W上每一個點的距離的最小值稱為點Q到圖形W的距離.例如正方形ABCD滿足A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1),那么點O(0,0)到正方形ABCD的距離為1.
(1)如果⊙P是以(3,4)為圓心,1為半徑的圓,那么點O(0,0)到⊙P的距離為
(2)求點 到直線 的距離;
(3)如果點 到直線 的距離為3,求a的值.
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【題目】已知拋物線 ( < <0)與x軸最多有一個交點,現(xiàn)有以下結(jié)論:
① <0;②該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè);③關(guān)于x的方程 有實數(shù)根;④對于自變量x的任意一個取值,都有 ,其中正確的為( )
A.①②
B.①②④
C.①②③
D.①②③④
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【題目】如圖,動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動,第1次從原點運動到點(1,1),第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2),…,按這樣的運動規(guī)律,經(jīng)過第2018次運動后,動點P的坐標是_____________.
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【題目】在已知線段AB的同側(cè)構(gòu)造∠FAB=∠GBA,并且在射線AF,BG上分別取點D和E,在線段AB上取點C,連結(jié)DC和EC.
Ⅰ、如圖,若AD=3,BE=1,△ADC≌△BCE.在∠FAB=∠GBA=60或∠FAB=∠GBA=90兩種情況中任選一種,解決以下問題:
①線段AB的長度是否發(fā)生變化,直接寫出長度或變化范圍;
②∠DCE的度數(shù)是否發(fā)生變化,直接寫出度數(shù)或變化范圍.
Ⅱ、若AD=a,BE=b,∠FAB=∠GBA=α,且△ADC和△BCE這兩個三角形全等,請求出:
①線段AB的長度或取值范圍,并說明理由;
②∠DCE的度數(shù)或取值范圍,并說明理由.
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【題目】某運動品牌對第一季度A、B兩款運動鞋的銷售情況進行統(tǒng)計,兩款運動鞋的銷售量及總銷售額如圖10所示:
(1)一月份B款運動鞋的銷售量是A款的,則一月份B款運動鞋銷售了多少雙?
(2)第一季度這兩款運動鞋的銷售單價保持不變,求三月份的總銷售額(銷售額=銷售單價×銷售量);
(3)結(jié)合第一季度的銷售情況,請你對這兩款運動鞋的進貨、銷售等方面提出一條建議。
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是ts.過點D作DF⊥BC于點F,連接DE、EF.
(1)用t的代數(shù)式表示:AE= ;DF= ;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,請說明理由;
(3)當t為何值時,△DEF為直角三角形?請說明理由.
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