Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點（A點在B點左側），若點P為拋物線上一點，連AP交y軸于Q，且AP•AQ=4，求點P的坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：設直線AP的解析式為y=k（x+1）（k≠0），求出點Q的坐標，與拋物線解析式聯(lián)立求出點P的坐標，然后利用勾股定理列式表示出AQ、AP，再相乘解方程求出k值，然后解答即可．

解答：解：設直線AP的解析式為y=k（x+1）（k≠0），
則點Q的坐標為（0，k），
聯(lián)立

y=k(x+1) y=x2-2x-3

，
解得

x1=-1 y1=0

，

x2=k+3 y2=k(k+4)

，
所以，點P的坐標為（k+3，k（k+4）），
由勾股定理得，AQ=

1+k2

，AP=

(k+3+1)2+[k(k+4)]2

=（k+4）

1+k2

，
∵AP•AQ=4，
∴（k+4）

1+k2

•

1+k2

=4，
∴（k+4）（1+k²）=4，
整理得，k（k²+4k+1）=0，
解得k₁=0（舍去），k₂=-2-

3

（舍去），k₃=-2+

3

，
∴k+3=-2+

3

+3=1+

3

，
k（k+4）=（-2+

3

）（-2+

3

+4）=-1，
∴點P的坐標為（1+

3

，-1）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點問題，勾股定理，設出直線解析式并列出關于k的方程是解題的關鍵．