Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=3厘米，AD=4厘米，點(diǎn)P以每秒厘米的速度在BC上從B往C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒1厘米的速度在CA上從C往A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)PQ平行于AB時(shí)，求t的值；

（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、D三點(diǎn)在同一直線上？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P、Q、D三點(diǎn)在同一直線上；（3）t=或t=或t=時(shí)，△PQC為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；

（3）分CQ=CP、QP=QC、PQ=PC三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．

解：（1）∵∠B=90°，AB=3厘米，AD=4厘米，

∴AC==5厘米，

由題意得，BP=t，CQ=t，則CP=4﹣t，

∵PQ∥AB，

∴=，即=，

解得t=；

（2）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，=，即=，

解得t1=（舍去），t2=，

則當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P、Q、D三點(diǎn)在同一直線上；

（3）當(dāng)CQ=CP時(shí)，4﹣t=t，

解得t=；

當(dāng)QP=QC時(shí)，

如圖3，作QE⊥BC于E，

則PE=EC=（4﹣t），

∵QE∥AB，

∴=，

即=，

解得t=；

當(dāng)PQ=PC時(shí)，

如圖4，作PF⊥AC于F，

則FC=QC=t，

∵PF⊥AC，∠B=90°，

∴△CFP∽△CBA，

∴=，即=，

解得t=，

綜上所述，t=或t=或t=時(shí)，△PQC為等腰三角形．