Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和半徑為1的，定義如下：

①點(diǎn)的“派生點(diǎn)”為；

②若上存在兩個點(diǎn)，使得，則稱點(diǎn)為的“伴侶點(diǎn)”．

應(yīng)用：已知點(diǎn)

（1）點(diǎn)的派生點(diǎn)坐標(biāo)為________；在點(diǎn)中，的“伴侶點(diǎn)”是________；

（2）過點(diǎn)作直線交軸正半軸于點(diǎn)，使，若直線上的點(diǎn)是的“伴侶點(diǎn)”，求的取值范圍；

（3）點(diǎn)的派生點(diǎn)在直線，求點(diǎn)與上任意一點(diǎn)距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（1,0），E、D、；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)定義即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)E作的切線EM，連接OM，利用三角函數(shù)求出∠MEO=30°，即可得到點(diǎn)E是的“伴侶點(diǎn)”；根據(jù)點(diǎn)F、D、的坐標(biāo)得到線段長度與線段OE比較即可判定是否是的“伴侶點(diǎn)”；

（2）根據(jù)題意求出，∠OGF=60°，由點(diǎn)是的“伴侶點(diǎn)”，過點(diǎn)P作的切線PA、PB，連接OP，OB，證明△OPG是等邊三角形，得到點(diǎn)P應(yīng)在線段PG上，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-，由此即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)(x，-2x+6)，P（m，n），根據(jù)派生點(diǎn)的定義得到3m+n=6，由此得到點(diǎn)P在直線y=-3x+6上，設(shè)直線y=-3x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交于點(diǎn)C，求出AB的長，再根據(jù)面積公式求出OH即可得到答案.

（1）∵，

∴點(diǎn)的派生點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），

∵E(0，-2)，

∴OE=2，

過點(diǎn)E作的切線EM，連接OM，

∵OM=1，OE=2，∠OME=90°，

∴sin∠MEO=,

∴∠MEO=30°，

而在的左側(cè)也有一個切點(diǎn)，使得組成的角等于30°，

∴點(diǎn)E是的“伴侶點(diǎn)”；

∵，

∴OF=>OE，

∴點(diǎn)F不可能是的“伴侶點(diǎn)”；

∵，（1,0），，，

∴點(diǎn)D、是的“伴侶點(diǎn)”，

∴的“伴侶點(diǎn)”有：E、D、，

故答案為：（1,0），E、D、；

（2）如圖，直線l交y軸于點(diǎn)G，

∵，

∴，∠OGF=60°

∵直線上的點(diǎn)是的“伴侶點(diǎn)”，

∴過點(diǎn)P作的切線PA、PB，且∠APB=60°，

連接OP，OB，

∴∠BOP=30°，

∵∠OBP=90°，OB=1，

∴OP=2=OG，

∴△OPG是等邊三角形，

∴若點(diǎn)P是的“伴侶點(diǎn)”，則點(diǎn)P應(yīng)在線段PG上，

過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，

∵∠POH=90°-60°=30°，OP=2，

∴PH=1，

∴OH=，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-，

∴當(dāng)直線上的點(diǎn)是的“伴侶點(diǎn)”時(shí)的取值范圍是；

（3）設(shè)點(diǎn)(x，-2x+6)，P（m，n），

根據(jù)題意得：m+n=x，m-n=-2x+6，

∴3m+n=6，

即n=-3m+6，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-3m+6），

∴點(diǎn)P在直線y=-3x+6上，

設(shè)直線y=-3x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交于點(diǎn)C，如圖，則A（2,0），B（0,6），

∴,

∴,

∴,

∴,

即點(diǎn)P與上任意一點(diǎn)距離的最小值為.