Question

如圖所示，已知：點(diǎn)A（0，0），B（

3

，0），C（0，1）．在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使其一邊在x軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA₁B₁，第2個(gè)△B₁A₂B₂，第3個(gè)△B₂A₃B₃，…，則①∠CBO=

 

度；②A₅B₅=

 

．

Answer 1

分析：①利用正切函數(shù)求得∠CBO的度數(shù)．
②首先過(guò)點(diǎn)A₁作A₁E垂直BC于點(diǎn)E，并設(shè)AE=EB₁=x．不難證得△EA₁B∽△ACB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，求得x的值．再利用同樣的原理求得，第2個(gè)△B₁A₂B₂的邊長(zhǎng)，第3個(gè)△B₂A₃B₃邊長(zhǎng)為，…直至第5個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)．

解答：解：①∵tan∠CBO=

AC

AB

=

1

3

=

3

3

∴∠CBO=30°
②如圖，過(guò)A₁作A₁E垂直BC于點(diǎn)E
設(shè)AE=EB₁=x
∵在△ABC中，A₁E∥OC
∴△EA₁B∽△ACB
∴

A1E

CA

=

BE

BA

，即

3 x

1

=

3 - x

3

解得x=

3

4

所以△AA₁B₁的邊長(zhǎng)為

3

2

同理，第2個(gè)△B₁A₂B₂的邊長(zhǎng)為

3

4

，第3個(gè)△B₂A₃B₃邊長(zhǎng)為

3

8

，…
所以第5個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于

3

32

故答案為30，

3

32

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合題．解決本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)添加輔助線，并最計(jì)算過(guò)程中注意根據(jù)第1三角形的邊長(zhǎng)，第2個(gè)△B₁A₂B₂的邊長(zhǎng)，第3個(gè)△B₂A₃B₃邊長(zhǎng)為，…總結(jié)出規(guī)律．