【題目】在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,延長AB至點(diǎn)D,使BD=BC,點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn),點(diǎn)F是直線AC上一點(diǎn),連接DE.連接EF,且∠DEF=∠DBC.
(1)如圖1,若∠D=∠EFC=15°,AB=,求AC的長.
(2)如圖2,當(dāng)∠BAC=45°,點(diǎn)E為線段BC的延長線上,點(diǎn)F在線段AC的延長線上時,求證:CF=BE.
(3)如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,點(diǎn)E為線段CB的延長線上,點(diǎn)F在線段CA的延長線上時,猜想線段CF與線段BE的數(shù)量關(guān)系,并證明猜想的結(jié)論.
【答案】(1)3(2)證明見解析(3)CF=BE
【解析】
試題分析:(1)首先證明∠FEC=∠F=15°,推出∠ACB=30°,由此即可解決問題.
(2)如圖2中,連接CD,作EM⊥EB交AF于M,作FN⊥BE于N,AF交DE于點(diǎn)O.∴由△EMC≌△ECD,推出EF=DE,再由△EFN≌△DEB,推出DB=EN=BC,推出BE=CN,推出△CFN是等腰直角三角形,由此即可解決問題.
(3)CF=BE.如圖3中,連接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延長線于N,在線段CE上截取一點(diǎn)M,使得FM=FE.只要證明△EDN≌△CMF,推出NE=CF,即可解決問題.
試題解析:(1)解:在△BDE中,∠D+∠DBE+∠BED=180°,
∵∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°,∠DEF=∠DBC,
∴∠D=∠FEC=∠F=15°,
∴∠ACB=∠F+∠CEF=30°,
在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=,∠ACB=30°,
∴BC=2AB=2,
∴AC==3.
(2)證明:如圖2中,連接CD,作EM⊥EB交AF于M,作FN⊥BE于N,AF交DE于點(diǎn)O.
∵∠BAC=45°,∠ABC=2∠ACB,
∴∠ABC=90°,∠ACB=∠MCE=∠EMC=45°,
∴EM=EC,
∵BD=DC,
∴∠BDC=∠BCD=45°,
∴∠DCE=∠EMF=135°,
∵∠DEF=∠DBC=90°,∠FCD=∠DCA=90°,
∴∠OEF=∠OCD,∵∠EOF=∠COD,
∴∠OFE=∠ODC,
在△EMF和△ECD中,
,
∴△EMC≌△ECD,
∴EF=DE,
∵∠DEB+∠FEN=90°,∠EFN+∠FEN=90°,
∴∠EFN=∠DEB,
在△EFN和△DEB中,
,
∴△EFN≌△DEB,
∴DB=EN=BC,
∴BE=CN,
∵△CFN是等腰直角三角形,
∴CF=CN=BE.
(3)結(jié)論:CF=BE.
理由:如圖3中,連接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延長線于N,在線段CE上截取一點(diǎn)M,使得FM=FE.
∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,
∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,
∵DB=BC,
∴∠DBC=120°,∠BDC=∠BCD=30°,
∴∠DBC=∠DEF=120°,∠DCA=∠DCB+∠ACB=60°,
∴∠DEF+∠DCF=180°,
∴E、F、C、D四點(diǎn)共圓,
∵∠DCE=∠ECF,
∴,
∴DE=EF=FM,
∵∠NEB=90°,∠NBE=∠ABC=60°,
∴∠N=∠ACM=30°,
∵∠DBC=∠BDE+∠DEB=∠DEB+∠FEM=∠DEB+∠FME,
∴∠BDE=∠FME,
∴∠NDE=∠FMC,
在△EDN和△FMC中,
,
∴△EDN≌△CMF,
∴NE=CF,
在Rt△NEB中,∵∠NEB=90°,∠N=30°,
∴NE=BE,
∴CF=BE.
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【題目】兩個互為相反數(shù)的有理數(shù)相乘,積為( )
A.正數(shù)
B.負(fù)數(shù)
C.零
D.負(fù)數(shù)或零
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【題目】蘇州地處太湖之濱,有豐富的水產(chǎn)養(yǎng)殖資源,水產(chǎn)養(yǎng)殖戶李大爺準(zhǔn)備進(jìn)行大閘蟹與河蝦的混合養(yǎng)殖,他了解到如下信息:
①每畝水面的年租金為500元,水面需按整數(shù)畝出租;
②每畝水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤蝦苗;
③每公斤蟹苗的價格為75元,其飼養(yǎng)費(fèi)用為525元,當(dāng)年可獲1 400元收益;
④每公斤蝦苗的價格為15元,其飼養(yǎng)費(fèi)用為85元,當(dāng)年可獲160元收益;
(1)若租用水面n畝,則年租金共需__________元;
(2)水產(chǎn)養(yǎng)殖的成本包括水面年租金、苗種費(fèi)用和飼養(yǎng)費(fèi)用,求每畝水面蟹蝦混合養(yǎng)殖的年利潤(利潤=收益-成本);
(3)李大爺現(xiàn)在資金25 000元,他準(zhǔn)備再向銀行貸不超過25 000元的款,用于蟹蝦混合養(yǎng)殖.已知銀行貸款的年利率為8%,試問李大爺應(yīng)該租多少畝水面,并向銀行貸款多少元,可使年利潤超過35 000元?
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【題目】將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°,得到數(shù)字“9”,將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°,得到數(shù)字“6”,現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°,得到的數(shù)字是( )
A.96
B.69
C.66
D.99
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【題目】若a、b互為倒數(shù),c、d互為相反數(shù),m為最大的負(fù)整數(shù),則(ab)5﹣3(c+d﹣m)2= .
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【題目】下列現(xiàn)象,能說明“線動成面”的是( 。
A. 天空劃過一道流星
B. 汽車雨刷在擋風(fēng)玻璃上刷出的痕跡
C. 拋出一塊小石子,石子在空中飛行的路線
D. 旋轉(zhuǎn)一扇門,門在空中運(yùn)動的痕跡
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【題目】有一個一次函數(shù)的圖象,甲、乙兩位同學(xué)分別說出了它的一些特點(diǎn):
甲:y隨x的增大而減小; 乙:當(dāng)x<0時,y>3.
請你寫出滿足甲、乙兩位同學(xué)要求的一個一次函數(shù)表達(dá)式____________.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣3,3),B(﹣5,1),C(﹣2,0),P(a,b)是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn),△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1 , 點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P1(a+6,b﹣2).
(1)直接寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo);
(2)在圖中畫出△A1B1C1;
(3)求△AOA1的面積.
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