Question

某公路的同一側有A、B、C三個村莊，要在公路邊上建一貨棧D，向三個村莊運送農用物資，路線是D→A→B→C→D和D→C→B→A→D．如果將A、B、C三點放在平面直角坐標系中，把x軸建立在公路上（把公路邊近似看作直線），坐標如圖所示．
（1）試問在公路邊是否存在一點D，使送貨路線最短？若存在，請畫出D點所在的位置；若不存在，請說明理由；
（2）通過觀察，寫出點D在該坐標系中的坐標．

Answer 1

解：（1）存在，因為路線D→A→B→C→D和D→C→B→A→D中AB、BC的長已經(jīng)確定，不可能變化，只要找出點D，使AD、CD的和最小即可，那么只要過點A作公路的對稱點A′，連接A′C與公路的交點就是所求點D；

（2）顯然，A關于x軸的對稱點A′的坐標為A′（1，-2），設A′C所在的直線的解析式為y=kx+b，則A′、C在直線上，得k+b=-2①，4k+b=1②，
①-②得-3k=-3，
所以k=1，b=-3，
所以直線A′C的解析式為y=x-3，
令y=x-3=0，得x=3，
所以直線A′C與x軸的交點為D（3，0），即D點坐標為（3，0）
分析：（1）過點A作公路的對稱點A′，連接A′C與公路的交點就是所求點D；
（2）先根據(jù)軸對稱的性質作出A′點并求出其坐標，得出過A′C的直線方程，再根據(jù)D點的坐標特點求出D點坐標即可．
點評：本題考查的是最短路線問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)x軸上點的坐標特點求出D點的坐標即可．