Question

如圖，已知AB∥CD，∠A=α，∠C=β，∠ABC和∠CDA的平分線交于E₁，∠E₁BC和∠E₁DA的平分線交于E₂，∠E₂BC和∠E₂DA的平分線交于E₃，按如此方式繼續(xù)下去…，用α，β的代數(shù)式表示∠BE_nD的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC=β，∠ADC=α，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABE₁=

1

2

β，∠ADE₁=

1

2

α，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BE₁D+∠ADE₁=∠A+∠ABE₁，即∠BE₁D+

1

2

α=α+

1

2

β，則∠BE₁D=

1

2

（α+β），同理得∠BE₂D=

3

4

（α+β），∠BE₃D=

7

8

（α+β），再利用前面的結(jié)論可得到∠BE_nD=

2n-1

2n

（α+β）．

解答：解：∵AB∥CD，∠A=α，∠C=β，
∴∠ABC=β，∠ADC=α，
∵∠ABC和∠CDA的平分線交于E₁，
∴∠ABE₁=

1

2

β，∠ADE₁=

1

2

α
∵∠BE₁D+∠ADE₁=∠A+∠ABE₁，即∠BE₁D+

1

2

α=α+

1

2

β，
∴∠BE₁D=

1

2

（α+β），
∵∠E₁BC和∠E₁DA的平分線交于E₂，
∴∠ABE₂=

3

4

β，∠ADE₂=

1

4

α，
∵∠BE₂D+∠ADE₂=∠A+∠ABE₂，即∠BE₁D+

1

4

α=α+

3

4

β，
∴∠BE₂D=

3

4

（α+β），
同理得∠BE₃D=

7

8

（α+β），
∴∠BE_nD=

2n-1

2n

（α+β）．
故答案為

2n-1

2n

（α+β）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．也考查了三角形內(nèi)角和定理．