Question

在分母小于15的最簡分?jǐn)?shù)中，求不等于

2

5

但與

2

5

最接近的那個(gè)分?jǐn)?shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算

專題：

分析：設(shè)所求的最簡分?jǐn)?shù)是

m

n

，（m，n）=1，0＜m＜n，n＜15，根據(jù)

m

n

≠

2

5

且m、n是正整數(shù)，可得出|5m-2n|≥1，分別討論|5m-2n|=1，|5m-2n|＞1的情況，然后確定符合題意的m、n的值．

解答：解：設(shè)所求的最簡分?jǐn)?shù)是

m

n

，（m，n）=1，0＜m＜n，n＜15，
則|

m

n

-

2

5

|=

|5m-2n|

5n

，
∵

m

n

≠

2

5

，且m、n是正整數(shù)，
∴|5m-2n|≥1，
①當(dāng)|5m-2n|=1時(shí)，
有5m-2n=1（

m

n

＞

2

5

）或5m-2n=-1（

m

n

＜

2

5

），
∴m=

2n+1

5

或m=

2n-1

5

，
由m為整數(shù)，知（2n+1）或（2n-1）是5的倍數(shù)，
要使|

m

n

-

2

5

|最小，則n應(yīng)最大，
∴n最大取13，對應(yīng)的m=5，
此時(shí)|

m

n

-

2

5

|=

1

65

；
②當(dāng)|5m-2n|＞1時(shí)，
∵n＜15，m、n是整數(shù)，
∴|

m

n

-

2

5

|=

|5m-2n|

5n

≥

2

5×14

=

1

35

＞

1

65

；
綜上可得：|

m

n

-

2

5

|的最小值是

1

65

，此時(shí)對應(yīng)的m=5，n=13．
故

5

13

是不等于

2

5

但與

2

5

最接近的那個(gè)分?jǐn)?shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算，難度較大，突破口比較隱蔽，注意抓住“最接近”、“分母小于15”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語的含義．