Question

已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點）．連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖），設(shè)CP=x，DE=y．
（1）寫出y與x之間的關(guān)系式；
（2）若點E與點A重合，求x的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△CMP∽△DEP，得出y與x的關(guān)系式；（2）根據(jù)y的值，解方程求出x在值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，AB=DC=4，
∴∠CMP+∠CPM=90°，
∵PE⊥PM，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
∴∠CMP=∠DPE，
∴△CMP∽△DEP，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
又CP=x，DE=y，
∴DP=4-x，
又M為BC的中點，BC=2，
∴CM=1，
∴

x

y

=

1

4-x

，
∴y=-x²+4x；
（2）當(dāng)E與A重合時，DE=AD=BC=2，
∴y=2，即x²-4x+2=0，
解得：x=2±

2

，
經(jīng)檢驗適合題意，
∴x的值為2+

2

或2-

2

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的運用，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．