Question

【題目】某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），如圖（2），AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．

（1）求證：AM=AN；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是菱形．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，進(jìn)而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四邊形ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．

試題解析：（1）∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，

現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），

∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，

在△ABM和△AFN中，

，

∴△ABM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是菱形．

理由：連接AP，

∵∠α=30°，

∴∠FAN=30°，

∴∠FAB=120°，

∵∠B=60°，

∴∠B+∠FAB=180°，

∴AF∥BP，

∴∠F=∠FPC=60°，

∴∠FPC=∠B=60°，

∴AB∥FP，

∴四邊形ABPF是平行四邊形，

∵AB=AF，

∴平行四邊形ABPF是菱形．