【題目】如圖,已知在等腰 RtABC中,C=90°,斜邊AB2,若將ABC翻折,折痕EF分別交邊AC、BC點E和點F點E不與A點重合,點F不與B點重合),點C落在AB邊上,記作點D.點D作DKAB,交射線AC于點K,設(shè)AD=x,y=cotCFE,

(1)求證:DEK∽△DFB;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域;

(3)聯(lián)結(jié)CD,當(dāng)時,求x的值.

【答案】(1)證明見解析(2)y=,定義域:2-x (3)x=-1或3-

【解析】

試題分析:(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明EKD=B,利用圖形折疊的性質(zhì)得到EDK=FDB,即可得出結(jié)論;(2)利用DEK∽△DFB,得出,從而y=cotCFEcotDFE

代入化簡即可,定義域:2-x (3)取線段EF的中點O,連接OC、OD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=OD=EF.設(shè)EF與CD交點為H,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EFCD,且CH=DH=CD.由可得tanHOC=,從而得到HOC=60°,然后分若點K在線段AC上若點K在線段AC的延長線上,兩種情況討論,得到y(tǒng)的值,再把y的值代入函數(shù)解析式就可求出x的值.

試題解析:(1)在等腰 RtABC中,C=90°,AB=45°

DKAB,EKD=45°∴EKD=B

ABC翻折點C落在AB邊上的點D

EDF=C=90°

∵∠KDA= KDB=90°

EDK=90°KDF, FDB=90°KDF

EDK=FDB

DEK∽△DFB

(說明:點K在線段AC延長線上時等同于在線段上的相似的情況,故不必分類證明)

(2)DEK∽△DFB,

∵∠DFE=CFE,y=cotCFEcotDFE

AD=x,AB2,DK=AD=x,DB2-x,y=

定義域:2-x

(3)方法一:設(shè)CD與EF交于點H,CD被折痕EF垂直平分,CD=2 CH

=,設(shè)CH=,EF=4

CDEF,C=90°

EHCCHF=90°, ECH=CFH=90°-HCF

ECH∽△CFH, 得:=,

設(shè)EH=a,則得: 解得:

當(dāng)EH=k時,ECHspan>=CFE=30°,

y==cot30°,x=-1;

當(dāng)EH=3k時,ECH=CFE=60°,

y==cot60°,x=3-;

經(jīng)檢驗:x=-1,x=3-分別是原各方程的根,且符合題意;

綜上所述,x=-1或x=3-

方法二:設(shè)CD與EF交于點H,EF的中點O,聯(lián)結(jié)OC,

CHEF,CH=CD,CO=EF.

,

當(dāng)0<AD<1時(如圖備一),在RtCOH中,COH=60°,

∴∠CFE=30°,y==cot30°x=-1;

當(dāng)1<AD<2時(如圖備二)

在RtCOH中,COH=60°,

∴∠CFE=60°,y==cot60°,x=3-

經(jīng)檢驗:x=-1,x=3-分別是原各方程的根,且符合題意;

綜上所述,x=-1或x=3-

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