Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)B、 A，點(diǎn)D、E分別是AO、AB的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

（1）分別寫出點(diǎn)P和Q坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形PQBOD的面積為（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②在①的情況下，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ分四邊形BODE兩部分的面積之比為S△PQE：S五邊形PQBOD＝1：29？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P能與△ABO的一邊相切？

Answer 1

【答案】（1）P(t，3)，Q(8－t， t)；

（2）① ②t＝2，理由見解析

（3）當(dāng)t＝， ， 時(shí)，⊙P可與△ABC的一邊相切.

【解析】試題分析：（1）利用直線的解析式首先求得直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形的中位線定理求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可；（2）①由P作PH⊥AB得到△PHE∽△AOB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等表示出PH，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；②利用S△PQE：S五邊形PQBOD＝1：29列出方程求得t值即可;（3）分當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)、當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)和當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)三種情況分類討論得到答案．

試題解析：

（1）P(t，3)，Q(8－t， t)；

（2）

①如圖1，P做PH⊥AB

△PHE∽△AOB

∴

∴

S△PEQ =

S四邊形DOBE＝ ×3＝18

②×18 解得t＝－（舍），t＝2

（3）

當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)，分別過點(diǎn)P、Q作PF、QG垂直于x軸，垂足為F、G，再過點(diǎn)Q作QH⊥PF于點(diǎn)H，如圖2構(gòu)造直角△PHQ，

此時(shí)，△BQG∽△BAO，BQ＝2t，得QG＝HF＝t，BG＝t，

在Rt△PHQ中，PH2＋HQ2＝PQ2，得(3－t)2＋(8－t－t)2＝32，

解得： t1＝4(舍)，t2＝

當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)，分別過點(diǎn)P、Q作PF、QG垂直于x軸，垂足為F、G，再過點(diǎn)Q作QH⊥PF于點(diǎn)H，如圖3構(gòu)造直角△PHQ，此時(shí)，△BQG∽△BAO，BQ＝2t，得QG＝HF＝t，BG＝t，

在Rt△PHQ中，PH2＋HQ2＝PQ2，得(3－t)2＋(8－t－t)2＝t2，

解得： t1＝＞4(舍)，t2＝

當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，如圖4，此時(shí)， PE＝4－t，EQ＝2t－5，

由△EPQ∽△BAO，得，∴，解得： t＝

∴當(dāng)t＝， ， 時(shí)，⊙P可與△ABC的一邊相切．