Question

【題目】如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

Answer 1

【答案】解：（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，理由見解析

（2）BE=6．

【解析】

試題（1）連接OD，可知由直徑所對的圓周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，從而得∠CDO=90°，根據切線的判定即可得出；

（2）由已知利用勾股定理可求得DC的長，根據切線長定理有DE=EB，根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

試題解析：（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，

理由是：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即OD⊥CE，

∴直線CD是⊙O的切線，

即直線CD和⊙O的位置關系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，

∴OC=2+3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

設DE=EB=x，

在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

則（4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即BE=6．