Question

如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上．
（1）若AB=4，試求菱形ABCD的面積；
（2）若∠AEF=60°，求證：AB=CE+CF．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BC邊上的高，再根據(jù)菱形的面積等于底邊乘以高列式計(jì)算即可得解；
（2）將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AE′B，易得△AEE′為等邊三角形，然后利用“角邊角”證明△EE′B和△FEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=CF，從而得到BC=CE+CF，即可得證．

解答：（1）解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AB=4，
∴等邊△ABC底邊BC上的高為4×

3

2

=2

3

，
∴菱形ABCD的面積=4×2

3

=8

3

；

（2）證明：如圖，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AE′B，則△AEE′為等邊三角形，
∴∠AE′E=60°，
∵∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=∠AEC-60°，
又∵∠BE′E=∠AE′B-∠AE′E=∠AE′B-60°，
∴∠BE′E=∠CEF，
∵∠B=60°，菱形的對(duì)邊AB∥CD，
∴∠ECF=180°-60°=120°，
又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠E′BE=∠ECF，
在△EE′B和△FEC中，

∠BE′E=∠CEF BE′=CE ∠E′BE=∠ECF

，
∴△EE′B≌△FEC（ASA），
∴BE=CF，
∴BC=CE+BE=CE+CF，
∵AB=BC，
∴AB=CE+CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造出等邊三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．