Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，CD=5，則⊙O的半徑

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：壓軸題

分析：根據(jù)勾股定理列式求出AD、AC，連接AO并延長交⊙O于E，連接CE，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠B=∠E，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACE=90°，然后求出△ABD和△AEC相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AE的值，從而得到圓的半徑．

解答：解：∵AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，
∴在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

152-92

=12，
∵CD=5，
∴在Rt△ACD中，AC=

AD2+CD2

=

122+52

=13，
如圖，連接AO并延長交⊙O于E，連接CE，
則∠B=∠E，∠ACE=90°，
∴∠ADB=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
即

15

AE

=

12

13

，
解得AE=

65

4

，
∴⊙O的半徑為

1

2

AE=

1

2

×

65

4

=

65

8

．
故答案為：

65

8

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)，作以直徑為斜邊的相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．