【題目】(問題探究)如圖1,,直線,垂足為,交于點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為2,點(diǎn)到的距離為1,,,則的最小值是______;(提示:將線段沿方向平移1個(gè)單位長度即可解決,如圖2所示.)
(關(guān)聯(lián)運(yùn)用)如圖3,在等腰和等腰中,,在直線上,,連接、,則的最小值是______.
【答案】
【解析】
[問題探究]過點(diǎn)A作AH⊥b于H,過點(diǎn)B作BK⊥b于K,作BJ⊥AH交AH的延長線于J,連接MK、AB和AK,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得=AM+MK≥AK(當(dāng)且僅當(dāng)A、M、K共線時(shí),取等號(hào)),然后利用勾股定理求出AK即可;
[關(guān)聯(lián)運(yùn)用]過點(diǎn)F作直線l∥BA,交CA的延長線于點(diǎn)N,取AC的中點(diǎn)G,作C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MF、GF、MN,根據(jù)對(duì)稱性和平行四邊形的判定及性質(zhì)推出CF=MF,GF=CE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得=GF+MF≥MG(當(dāng)且僅當(dāng)G、F、M共線時(shí),取等號(hào)),然后利用勾股定理求出MG即可.
解:[問題探究]過點(diǎn)A作AH⊥b于H,過點(diǎn)B作BK⊥b于K,作BJ⊥AH交AH的延長線于J,連接MK、AB和AK
由圖易知,四邊形HJBK為矩形,MN=BK=1,MN∥BK,AH=2+1=3,AJ=2+1+1=4
∴四邊形MNBK為平行四邊形,HK=BJ
∴BN=MK
∴=AM+MK≥AK(當(dāng)且僅當(dāng)A、M、K共線時(shí),取等號(hào))
在Rt△ABJ中,BJ=
∴HK=3
∴AK=
∴≥
即的最小值是;
故答案為:;
[關(guān)聯(lián)運(yùn)用]過點(diǎn)F作直線l∥BA,交CA的延長線于點(diǎn)N,取AC的中點(diǎn)G,作C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MF、GF、MN
由對(duì)稱性可得CF=MF,CN=MN,∠CNF=∠MNF
∵在等腰和等腰中,
∴∠FED=∠BAC=45°,EF=DF=2,AC=BC=4
∴EF∥AC,CG=AG=AC=2=EF
∴四邊形CEFG為平行四邊形
∴GF=CE
∴=GF+MF≥MG(當(dāng)且僅當(dāng)G、F、M共線時(shí),取等號(hào))
∵直線l∥BA
∴四邊形EFNA為平行四邊形,∠CNF=∠BAC=45°
∴AN=EF=2,∠CNF=∠MNF=45°
∴GN=AG+AN=4,MN=CN=AC+AN=6,∠MNC=∠CNF+∠MNF=90°
根據(jù)勾股定理可得MG=
∴≥
即的最小值為.
故答案為:.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是CD邊上一點(diǎn),DE=2,過B作AE的垂線,垂足為點(diǎn)F,BF=3,將△ADE沿AE翻折,得到△AGE,AG與BF于點(diǎn)M,連接BG,則△BMG的周長為______
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【題目】數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖,小明發(fā)現(xiàn)有些作圖只用一種工具就可以完成,你能解決下列問題嗎?
(1)請(qǐng)只用無刻度的直尺完成下列作圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡(用虛線表示畫圖過程,實(shí)線表示畫圖結(jié)果)在圖1中,過點(diǎn)A畫一條直線把正五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分;
(2)已知直線l及l外一點(diǎn)A(按下列要求作圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡).
①在圖2中,只用圓規(guī)在直線l上畫出兩點(diǎn)B、C,使得點(diǎn)A、B、C是一個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn);
②在圖3中,只用圓規(guī)在直線l外畫出一點(diǎn)P,使得點(diǎn)A、P所在直線與直線l平行.
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【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB=2,CA切⊙O于A,BC交⊙O于D,若∠C=45°,則圖中陰影部分的面積為( )
A.B.2C.πD.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PB為⊙O的切線,B為切點(diǎn),直線PO交⊙于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)B作PO的垂線BA,垂足為點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)A,延長AO與⊙O交于點(diǎn)C,連接BC,AF.
(1)求證:直線PA為⊙O的切線;
(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和線段PE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,點(diǎn)在底邊上,的兩邊分別交、所在直線于、兩點(diǎn),,.
(1)如圖1,若,,求證:;
(2)如圖2,求的值(含的式子表示);
(3)如圖3,連接,若,,且,直接寫出的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn),與軸分別交于,兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線的下方,過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn),當(dāng)取最大值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,軸交軸于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上,之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,與分別交于,,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí).
①直接寫出的值;
②直接寫出的值.
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【題目】(2019·信陽一模)如圖,銳角三角形ABC中,BC=6,BC邊上的高為4,直線MN交邊AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,且MN∥BC,以MN為邊作正方形MNPQ,設(shè)其邊長為x(x>0),正方形MNPQ與△ABC公共部分的面積為y,則y與x的函數(shù)圖象大致是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是CD邊的中點(diǎn),且BE⊥AC于點(diǎn)F,連接DF,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.△ADC∽△CFBB.AD=DF
C.=D.=
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