【題目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),過(guò)M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N.

(1)如圖1,把△AMN沿直線MN折疊得到△PMN,設(shè)AM=x.

i.若點(diǎn)P正好在邊BC上,求x的值;

ii.在M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值.

(2)如圖2,以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMQN.試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)i.當(dāng)x=2時(shí),點(diǎn)P恰好落在邊BC上;ii. y=,當(dāng)x=時(shí),重疊部分的面積最大,其值為2;(2)當(dāng)x=時(shí),⊙O與直線BC相切;當(dāng)x<時(shí),⊙O與直線BC相離;x>時(shí),⊙O與直線BC相交.

【解析】試題分析:(1i.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),可求得相等的線段與角,可得點(diǎn)MAB中點(diǎn),即當(dāng)x=AB=2時(shí),點(diǎn)P恰好落在邊BC上;

ii.分兩種情況討論:當(dāng)0x≤2時(shí),MNP與梯形BCNM重合的面積為MNP的面積,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)MNP的面積等于AMN的面積,易見(jiàn)y=x2

當(dāng)2x4時(shí),如圖2,設(shè)PM,PN分別交BCE,F,由i.知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-4-x=2x-4,由題意知△PEF∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求得.

2)利用分類討論的思想,先求的直線BC⊙O相切時(shí),x的值,然后得到相交,相離時(shí)x的取值范圍.

試題解析:(1i.如圖1,

由軸對(duì)稱性質(zhì)知:AM=PM,∠AMN=∠PMN

MN∥BC,

∴∠PMN=∠BPM,∠AMN=∠B

∴∠B=∠BPM,

∴AM=PM=BM,

點(diǎn)MAB中點(diǎn),即當(dāng)x=AB=2時(shí),點(diǎn)P恰好落在邊BC上.

ii.以下分兩種情況討論:

當(dāng)0x≤2時(shí),

∵M(jìn)N∥BC,

∴△AMN∽△ABC,

,

AN= ,

△MNP與梯形BCNM重合的面積為△MNP的面積,

當(dāng)2x4時(shí),如圖2,

設(shè)PM,PN分別交BCE,F,

由(2)知ME=MB=4-x,

∴PE=PM-ME=x-4-x=2x-4,

由題意知△PEF∽△ABC,

SPEF=x-22,

y=SPMN-SPEF=,

當(dāng)0x≤2時(shí),y=x2,

易知y最大=

當(dāng)2x4時(shí),y=,

當(dāng)x=時(shí)(符合2x4),y最大=2,

綜上所述,當(dāng)x=時(shí),重疊部分的面積最大,其值為2

2))如圖3,

設(shè)直線BC⊙O相切于點(diǎn)D,連接AO,OD,則AO=OD=MN

RtABC中,BC==5;

由(1)知△AMN∽△ABC

,即

MN=x

OD=x,

過(guò)M點(diǎn)作MQBCQ,則MQ=OD=x,

Rt△BMQRt△BCA中,∠B是公共角,

∴△BMQ∽△BCA

,

BM= ,AB=BM+MA=x+x=4

x=,

當(dāng)x=時(shí),O與直線BC相切;

當(dāng)x時(shí),O與直線BC相離;

x時(shí),O與直線BC相交.

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1)求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)以及直線BC的解析式;

2)如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)Py軸的平行線交線段BC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)NNC⊥BCBC于點(diǎn)K,當(dāng)△MNK△MPB的面積比為12時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;

3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以相同速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),且P、Q同時(shí)停止,分別以PQ、BP為邊在x軸上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形頂點(diǎn)按順時(shí)針順序),當(dāng)正方形PQEF和正方形BPGH重疊部分是一個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí),請(qǐng)求出此時(shí)軸對(duì)稱圖形的面積.

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