Question

【題目】如圖，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，E是上一點(diǎn)，連接AE，作OG∥AE交CE于點(diǎn)G．

（1）求證：BE＝EG；

（2）判斷AE與CG的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）．

【解析】

作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，先證明△COG≌△AOH（SAS），可得出CG＝AH和∠AHO＝∠CGO＝135°，得出，再由AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑得出，進(jìn)而證的△BCG∽△BAE，得出∠CEB＝45°，從而證的△BGE三等腰直角三角形，即可得出BE＝EG.

（1）如圖1，證明：作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴，

∵AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，

∴OC＝OB＝AB，

連接BC，BG，

∴，

∴，

∵∠BCG＝∠BAE，

∴△BCG∽△BAE，

∴∠CGB＝∠AEB＝90°，

∵∠CEB＝45°，

∴△BGE三等腰直角三角形，

∴BE＝EG；

（2）解：作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴．