Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（m，4），與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC．

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣3，0），

∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB=3，

∴P（3，4），B（3，0），

將P（3，4）代入反比例解析式得：k=12，即反比例解析式為y= ．

將A（﹣3，0）與P（3，4）代入y=ax+b得： ，

解得： ，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+2

（2）解：如圖所示，

把y=2代入y= 中，得x=6，得D（6，2），

PB垂直且平分CD，

則四邊形BCPD為菱形．

則點(diǎn)D（6，2）

【解析】（1）先根據(jù)題意得出P點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)P（3，4）代入反比例函數(shù)y= 即可得出k的值，再將A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax+b求出kb的值，故可得出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）先求得y=2時(shí)，x=6，再根據(jù)菱形的判定即可求解．本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用菱形的判定方法，掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形即可以解答此題．