【題目】已知:如圖,在RtABCRtACD中,AC=BC,∠ACB=90°,∠ADC=90°,CD=2,(點(diǎn)A、B分別在直線CD的左右兩側(cè)),射線CD交邊AB于點(diǎn)E,點(diǎn)GRtABC的重心,射線CG交邊AB于點(diǎn)FAD=x,CE=y.

(1)求證:∠DAB=DCF.

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.

(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形,試求AD的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)AD=1.

【解析】

1)首先根據(jù)點(diǎn)GRtABC的重心,得出CFRtABC的中線.,又由AC=BC,∠ACB=90°,得出CFAB,即∠AFC=90°,然后等量轉(zhuǎn)換即可得出∠DAB=DCF;

2)首先判定△CAD≌△BCH,得出BH = CD,CH = AD,又根據(jù)∠ADC=BHC=90°,得出ADBH,進(jìn)而得出,列出等式,即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

3)分兩種情況進(jìn)行求解:①當(dāng)GC=GD時(shí),根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出MD=MC,進(jìn)而得出MGCD,且直線MG經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,那么BHMG共線,即可得出AD;當(dāng)CG=CD時(shí),CG=2,點(diǎn)G為△ABC的重心,然后運(yùn)用勾股定理即可得出AD.

(1)證明:∵點(diǎn)GRtABC的重心,

CFRtABC的中線.

又∵在RtABC,AC=BC,∠ACB=90°,

CFAB,即∠AFC=90°.

∵∠DEF=ADE+DAE=EFC+ECF,且∠ADE=EFC=90°,

∴∠DAB=DCF.

(2)解:如圖,過(guò)點(diǎn)BBHCD于點(diǎn)H.

∴△CAD≌△BCHASA.

BH = CD = 2,CH = AD = x,DH = 2-x.

∵∠ADC=BHC=90°

ADBH.

.

,.

.

(3)解:當(dāng)GC=GD時(shí),如圖1,

AC的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)MD.那么MD=MC,

聯(lián)結(jié)MG,MGCD,且直線MG經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.那么BHMG共線.

CH=AD,那么AD=CH=.

當(dāng)CG=CD時(shí),如圖2,即CG=2,點(diǎn)G為△ABC的重心,

,AB=2CF=6,

.

綜上所述,AD=1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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售價(jià)(元/件)

50

60

80

周銷售量(件)

100

80

40

周銷售利潤(rùn)(元)

1000

1600

1600

注:周銷售利潤(rùn)=周銷售量×(售價(jià)-進(jìn)價(jià))

1)求關(guān)于的函數(shù)解析式(不寫出自變量的取值范圍);

2)該商品進(jìn)價(jià)是 /件;求售價(jià)是多少元/件時(shí),周銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少元?

3)由于某種原因,該商品進(jìn)價(jià)提高了/件(),物價(jià)部門規(guī)定該商品售價(jià)不得超過(guò)65/件.該商店在今后的銷售中,周銷售量與售價(jià)仍然滿足(1)中函數(shù)關(guān)系.若周銷售最大利潤(rùn)是1400元,則的值為

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