Question

如圖1，已知雙曲線y=-

2

x

，P是雙曲線上一點，正方形PMNQ（點P、M、N、Q按逆時針排列）的頂點N在雙曲線的另一個分支上
（1）若點P的橫坐標(biāo)是2，求點N的坐標(biāo)；
（2）若改變點P的坐標(biāo)，設(shè)直線PN的解析式為y=kx+b（k≠0），進行探究可得k=

 

，若點P的橫坐標(biāo)是m，則b=

 

；（用含m的代數(shù)式表示）
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律，若點P的橫坐標(biāo)是-3，請在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，并求出點N的坐標(biāo)和點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）把點P的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式來求點P的縱坐標(biāo)；如圖1，設(shè)正方形PMNQ的邊長為a，且與x軸的負(fù)半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B．易求點N的坐標(biāo)是：（a-2，a-1），所以把點N的坐標(biāo)代入雙曲線解析式列出關(guān)于a的方程，通過解方程求得a的值；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)∠ANO=45°，則∠AON=45°，易求k=-1．所以把點P的坐標(biāo)代入即可求得b=m；
（3）依據(jù)（2）的規(guī)律，如果點P的橫坐標(biāo)為-3，則直線PN的解析式為y=-x-

7

3

，又點N（x，y）在反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象上，故x•（-x-

7

3

）=-2，解此方程，求出x的值，進而得出點N和點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)正方形PMNQ的邊長為a，且與x軸的負(fù)半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B．
∵點P在雙曲線y=-

2

x

上，點P的橫坐標(biāo)是2．
∴點P的坐標(biāo)是（2，-1）．
∴OB=2，BP=1，
∴AO=a-2．
易得AQ=1，AN=a-1．則N（2-a，a-1）
∵點N在雙曲線y=-

2

x

上，
∴（2-a）（a-1）=-2，
解得，a₁=3，a₂=0（舍去）．
∴2-a=-1，a-1=2，
∴N（-1，2）；

（2）如圖1，NP是正方形PMNQ的對角線，
∴∠ANO=45°，則∠AON=45°，
∴tan∠BON=1
可知不管P點在哪里，k=-1；
把x=m，y=-

2

m

代入y=-x+b，得
b=m-

2

m

．
故答案是：-1；m-

2

m

；

（3）所畫圖形如圖2所示．
∵點P在雙曲線y=-

2

x

上，點P的橫坐標(biāo)是-3．
∴點P的坐標(biāo)是（-3，

2

3

）．
若點P的橫坐標(biāo)是-3時．
由（2）知，直線PN的解析式為y=-x-

7

3

，
則N（x，y）滿足x•（-x-

7

3

）=-2，
解得x₁=-3（舍去），x₂=

2

3

則點N的坐標(biāo)是（

2

3

，-3），點M的坐標(biāo)是（-3，-3）．

點評：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正方形等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．