Question

【問(wèn)題提出】已知∠AOB=70°，∠AOD=

1

2

∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度數(shù)．
【問(wèn)題思考】聰明的小明用分類(lèi)討論的方法解決．
（1）當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，①若射線OD在∠AOC內(nèi)部，如圖1，可求∠BOC的度數(shù)，解答過(guò)程如下：

設(shè)∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，∴∠AOD= 1 2 ∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14°

問(wèn)：當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，②若射線OD在∠AOB外部，如圖2，請(qǐng)你求出∠BOC的度數(shù)；
【問(wèn)題延伸】（2）當(dāng)射線OC在∠AOB的外部時(shí)，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并求∠BOC的度數(shù)．
【問(wèn)題解決】綜上所述：∠BOC的度數(shù)分別是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算

專題：分類(lèi)討論

分析：（1）②由已知條件得出∠COD、∠AOD、∠AOB與∠BOC的關(guān)系，求出∠BOC的度數(shù)；
（2）分類(lèi)討論，根據(jù)∠AOD、∠BOD．∠AOB與∠BOC的關(guān)系，得出∠BOC的度數(shù)．

解答：解：（1）②設(shè)∠BOC=α，則∠BOD=3α，②若射線OD在∠AOB外部，
如圖2：∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=

1

3

∠COD=

2

3

α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-

2

3

α=

7

3

α=70°，
∴α=30°．
∴∠BOC=30°；
（2）當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)題意，此時(shí)射線OC靠近射線OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴射線OD的位置也只有兩種可能；
①若射線OD在∠AOB內(nèi)部，如圖3所示，
則∠COD=∠BOC+∠COD=4α，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，
∴α=10°，
∴∠BOC=10°；
②若射線OD在∠AOB外部，如圖4，
則∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=

1

3

∠COD=

4

3

α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-

4

3

α=

5

3

α=70°，
∴α=42°，
∴∠BOC=42°；
綜上所述：∠BOC的度數(shù)分別是14°，30°，10°，42°．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)OC、OD的不同位置分類(lèi)討論∠BOC的計(jì)算方法；分類(lèi)討論是關(guān)鍵．