Question

如圖，由△ABC的頂點A作高AD，以垂足D為圓心，AD為半徑作圓，分別交AB、AC于EF，若AE=2，AF=3，AB=5，求AC的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：過D分別作DM⊥AB，DN⊥AC，則可得到AD²=AM•AB，AD²=AN•AC，結(jié)合垂徑定理可得AM=

1

2

AE，AN=

1

2

AF，代入可求得AC．

解答：解：過D分別作DM⊥AB，DN⊥AC，
∵AD⊥BC，
∴∠AMD=∠ADB=90°，
∴∠MAD+∠ADM=∠B+∠MAD，
∴∠ADM=∠B，
∴△ADM∽△ABD，
∴

AD

AB

=

AM

AD

，
∴AD²=AM•AB，
同理可得AD²=AN•AC，
∴AM•AB=AN•AC，
又由垂徑定理可得AM=

1

2

AE=1，AN=

1

2

AF=1.5，
∴1×5=1.5AC，
解得AC=

10

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形相似得到AD²=AM•AB和AD²=AN•AC是解題的關(guān)鍵．